$f(x)$ は $0$ でない $x$ の整式であり、次の微分方程式を満たします。 $xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$, $f(0) = 1$. (1) $f(x)$ の次数を求めよ。 (2) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ は $0$ でない $x$ の整式であり、次の微分方程式を満たします。

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$, $f(0) = 1$.

(1) $f(x)$ の次数を求めよ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の次数を求める。

$f(x)$ の次数を $n$ とすると、$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ ($a_n \neq 0$) と表せる。

$f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$

$f''(x) = n(n-1) a_n x^{n-2} + (n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3} + \dots + 2 a_2$

与えられた微分方程式に代入すると、

$x f''(x) = n(n-1) a_n x^{n-1} + (n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-2} + \dots$

$(1-x) f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots - n a_n x^{n} - (n-1) a_{n-1} x^{n-1} - \dots$

$3 f(x) = 3 a_n x^n + 3 a_{n-1} x^{n-1} + \dots$

最高次の項は、$-n a_n x^n + 3 a_n x^n = (3-n) a_n x^n$ となる。

微分方程式を満たすためには、この係数が $0$ でなければならないので、$3 - n = 0$ より $n = 3$。

したがって、$f(x)$ の次数は $3$ である。

(2) $f(x)$ を求める。

$f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ とおく。

$f(0) = 1$ より、$a_0 = 1$。

$f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 1$

$f'(x) = 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$

$f''(x) = 6 a_3 x + 2 a_2$

微分方程式に代入すると、

$x(6 a_3 x + 2 a_2) + (1-x)(3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1) + 3(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 1) = 0$

$6 a_3 x^2 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1 - 3 a_3 x^3 - 2 a_2 x^2 - a_1 x + 3 a_3 x^3 + 3 a_2 x^2 + 3 a_1 x + 3 = 0$

$a_3 x^3$ の項は $-3a_3 x^3 + 3a_3 x^3 = 0$ で消える。

$(6 a_3 + 3 a_3 - 2 a_2 + 3 a_2) x^2 + (2 a_2 + 2 a_2 - a_1 + 3 a_1) x + (a_1 + 3) = 0$

$(9 a_3 + a_2) x^2 + (4 a_2 + 2 a_1) x + (a_1 + 3) = 0$

係数比較により、

$9 a_3 + a_2 = 0$

$4 a_2 + 2 a_1 = 0$

$a_1 + 3 = 0$

したがって、$a_1 = -3$。

$4 a_2 + 2(-3) = 0 \implies 4 a_2 = 6 \implies a_2 = \frac{3}{2}$

$9 a_3 + \frac{3}{2} = 0 \implies 9 a_3 = -\frac{3}{2} \implies a_3 = -\frac{1}{6}$

よって、$f(x) = -\frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 3 x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の次数：3

(2) $f(x) = -\frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 3 x + 1$