$x > 0$ のとき、$\sqrt{1+x} > 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$\sqrt{1+x} > 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \sqrt{1+x} - (1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2)$ を考えます。$x > 0$ で $f(x) > 0$ を示すことが目標です。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = \sqrt{1+0} - (1 + \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{8}(0)^2) = 1 - 1 = 0$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x$

さらに、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = -\frac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}\right)$

$x > 0$ のとき、$(1+x)^{\frac{3}{2}} > 1$ なので、$\frac{1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}} < 1$ となり、$1 - \frac{1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}} > 0$。したがって、$f''(x) > 0$ となります。

これは、$f'(x)$ が単調増加であることを意味します。$f'(0)$ を計算すると、$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1+0}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}(0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$。

$f'(x)$ は単調増加であり、$f'(0)=0$ なので、$x > 0$ で $f'(x) > 0$ となります。

これは、$f(x)$ が単調増加であることを意味します。$f(0)=0$ であり、$f(x)$ は単調増加なので、$x > 0$ で $f(x) > 0$ となります。

したがって、$x > 0$ のとき、$\sqrt{1+x} > 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x>0$ のとき、$\sqrt{1+x} > 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$ が成り立つ。