$\int \sin^4 x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin^4 x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を利用して$\sin^2 x$を変換します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

したがって、

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

次に、$\cos^2 2x$を変換します。

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

したがって、

$\sin^4 x = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x)$

$= \frac{1}{4} (\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$

積分を計算します。

$\int \sin^4 x dx = \int (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) dx$

$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x + C$

$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$