関数 $y = -x^2 + x - 3$ のグラフに点 $C(1, 1)$ から引いた接線が2本ある。この2本の接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + x - 3$ のグラフに点 $C(1, 1)$ から引いた接線が2本ある。この2本の接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点を $(t, -t^2 + t - 3)$ とおく。

次に、$y = -x^2 + x - 3$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = -2x + 1$

したがって、点 $(t, -t^2 + t - 3)$ における接線の傾きは $-2t + 1$ である。

よって、接線の方程式は次のようになる。

$y - (-t^2 + t - 3) = (-2t + 1)(x - t)$

$y = (-2t + 1)x - t(-2t + 1) - t^2 + t - 3$

$y = (-2t + 1)x + 2t^2 - t - t^2 + t - 3$

$y = (-2t + 1)x + t^2 - 3$

この接線が点 $C(1, 1)$ を通るので、 $x = 1$, $y = 1$ を代入すると、

$1 = (-2t + 1)(1) + t^2 - 3$

$1 = -2t + 1 + t^2 - 3$

$0 = t^2 - 2t - 3$

$0 = (t - 3)(t + 1)$

$t = 3, -1$

(i) $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, -3^2 + 3 - 3) = (3, -9)$

傾きは $-2(3) + 1 = -5$

接線の方程式は $y = -5x + 3^2 - 3 = -5x + 6$

(ii) $t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, -(-1)^2 + (-1) - 3) = (-1, -5)$

傾きは $-2(-1) + 1 = 3$

接線の方程式は $y = 3x + (-1)^2 - 3 = 3x - 2$

3. 最終的な答え

2本の接線の方程式は、$y = -5x + 6$ と $y = 3x - 2$ である。