与えられた2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$ (2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$ の計算

半角の公式を用いて、$\cos x$ を $\tan(x/2)$ で表します。

$t = \tan(\frac{x}{2})$ とおくと、

$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$

したがって、

$\int \frac{1}{2 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{1}{\frac{2(1 + t^2) + 1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{2}{2 + 2t^2 + 1 - t^2} dt = \int \frac{2}{3 + t^2} dt$

$= \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 + (\frac{t}{\sqrt{3}})^2} dt$

$u = \frac{t}{\sqrt{3}}$ とおくと、 $du = \frac{1}{\sqrt{3}} dt$, $dt = \sqrt{3} du$

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} \sqrt{3} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan(u) + C$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{t}{\sqrt{3}}) + C = \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{\tan(\frac{x}{2})}{\sqrt{3}}) + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$ の計算

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{\sin x}{\cos x - \sin x} = A \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) + B$

$\frac{\sin x}{\cos x - \sin x} = A(-\sin x - \cos x) + B(\cos x - \sin x)$

$\sin x = A(-\sin x - \cos x) + B(\cos x - \sin x) = (-A - B)\sin x + (-A + B)\cos x$

$-A - B = 1$

$-A + B = 0$

$B = A$

$-A - A = 1$

$-2A = 1$

$A = -\frac{1}{2}$

$B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{\sin x}{\cos x - \sin x} = -\frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) - \frac{1}{2} (\cos x - \sin x)/(\cos x - \sin x)$

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int -\frac{1}{2} \frac{-\sin x - \cos x}{\cos x - \sin x} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{-\sin x - \cos x}{\cos x - \sin x}dx = -\frac{1}{2} \ln|\cos x - \sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx = \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right) + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln |\cos x - \sin x| + C$

もしくは

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = -\frac{1}{2} (\ln |\cos x - \sin x| + x) + C$