## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

以下に、画像にある極限の計算問題の解答を示します。

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1. 問題の内容

以下の8つの極限を計算します。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$

4. $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$

5. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$

6. $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$

7. $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$

8. $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

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2. 解き方の手順

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1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$**

ロピタルの定理を適用します。$\frac{0}{0}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = 1$

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2. $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x - \sin 2x}$**

ロピタルの定理を適用します。$\frac{0}{0}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x}{1 - 2 \cos 2x}$

再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x - \sin x - x \cos x}{4 \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin x - x \cos x}{4 \sin 2x}$

再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \cos x - \cos x + x \sin x}{8 \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3 \cos x + x \sin x}{8 \cos 2x} = \frac{-3}{8}$

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3. $\lim_{x \to 1} \frac{-x^3 + 2x^2 - x}{2x^3 - x^2 - 4x + 3}$**

$x = 1$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形になるので、因数分解を試みます。

分子: $-x^3 + 2x^2 - x = -x(x^2 - 2x + 1) = -x(x - 1)^2$

分母: $2x^3 - x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(2x^2 + x - 3) = (x - 1)(x-1)(2x+3) = (x-1)^2(2x+3)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{-x(x - 1)^2}{(x - 1)^2(2x + 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{-x}{2x + 3} = \frac{-1}{2(1) + 3} = -\frac{1}{5}$

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4. $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$**

ロピタルの定理を適用します。$\frac{0}{0}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

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5. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x - \pi)^2}{\sin x - 1}$**

$t = x - \frac{\pi}{2}$ と置換すると、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{(2(t + \frac{\pi}{2}) - \pi)^2}{\sin(t + \frac{\pi}{2}) - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{(2t)^2}{\cos t - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{4t^2}{\cos t - 1}$

ロピタルの定理を適用します。$\frac{0}{0}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{t \to 0} \frac{8t}{-\sin t}$

再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{t \to 0} \frac{8}{-\cos t} = -8$

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6. $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \cos 2x - 1}{x^4}$**

$\cos 2x$ のマクローリン展開 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$を利用します。

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \dots) - 1}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}x^4 - \dots}{x^4} = \frac{2}{3}$

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7. $\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$**

$\lim_{x \to +0} \log x^{2x} = \lim_{x \to +0} 2x \log x = 2 \lim_{x \to +0} x \log x$

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$

ロピタルの定理を適用します。$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} -x = 0$

よって、$\lim_{x \to +0} \log x^{2x} = 2 \cdot 0 = 0$

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8. $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$**

$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log(1 + e^x)$

$x \to \infty$ のとき、$e^x$ が 1 より圧倒的に大きくなるので、$1 + e^x \approx e^x$ と近似できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log(e^x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

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3. 最終的な答え

1. 1

2. $-\frac{3}{8}$

3. $-\frac{1}{5}$

4. 1

5. -8

6. $\frac{2}{3}$

7. 0

8. 1