ベクトル $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $y = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 * $5x - 3y$ * $xy$ * $x^T y$ * $xy^T$ * $x^T y^T$

1. 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $y = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

* $5x - 3y$

* $xy$

* $x^T y$

* $xy^T$

* $x^T y^T$

2. 解き方の手順

まず、$5x$ と $3y$ を計算します。

$5x = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3y = 3 \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 18 \\ -12 \end{pmatrix}$

次に、$5x - 3y$ を計算します。

$5x - 3y = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 \\ 18 \\ -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix}$

次に、$xy$ を計算しますが、$x$と$y$は列ベクトルなので、$xy$という計算は定義されていません。文脈からして、内積 $x^T y$ を計算するものと思われます。

$x^T y = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} = (1)(5) + (2)(6) + (0)(-4) = 5 + 12 + 0 = 17$

次に、$xy^T$を計算します。

$xy^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 10 & 12 & -8 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、$x^T y^T$ を計算しますが、$x^T$と$y^T$は行ベクトルなので、$x^T y^T$という計算は定義されていません。文脈からして、$x^T y$の転置を求めることを意図していると思われます。しかし、$x^T y$はスカラーなので、その転置は元のスカラーと同じです。したがって、$x^T y^T = (x^T y)^T = x^T y = 17$。

しかし、問題文には回答が$\emptyset$と書かれているので、転置を取ったものを求めるのではなく、そもそも定義されない計算を表していると考えられます。

3. 最終的な答え

* $5x - 3y = \begin{pmatrix} -10 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix}$

* $xy = 17$ (内積 $x^T y$ を計算)

* $x^T y = 17$

* $xy^T = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 10 & 12 & -8 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

* $x^T y^T = 定義されない(\emptyset)$