以下の2つの数列の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す問題です。 (1) 偶数 $2, 4, 6, 8, \dots$ の数列で符号を交互に変えた数列: $-2, 4, -6, 8, \dots$ (2) 分子には奇数、分母には $2$ の累乗が順に現れる分数の数列: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \dots$

1. 問題の内容

以下の2つの数列の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す問題です。

(1) 偶数 $2, 4, 6, 8, \dots$ の数列で符号を交互に変えた数列: $-2, 4, -6, 8, \dots$

(2) 分子には奇数、分母には $2$ の累乗が順に現れる分数の数列: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

まず、偶数の数列 $2, 4, 6, 8, \dots$ の一般項は $2n$ で表されます。次に、符号が交互に変わることを考慮します。数列の符号は $-, +, -, +, \dots$ となっているので、 $(-1)^n$ または $(-1)^{n+1}$ をかけることで表現できます。初項が負なので、$n=1$ のとき負になるように $(-1)^n$ を選びます。

したがって、一般項は $a_n = (-1)^n (2n)$ となります。

(2)

分母は $2, 4, 8, 16, \dots$ で、これは $2^n$ で表されます。

分子は $1, 3, 5, 7, \dots$ で、これは奇数の数列なので、$2n-1$ で表されます。

したがって、一般項は $a_n = \frac{2n-1}{2^n}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (-1)^n (2n)$

(2) $a_n = \frac{2n-1}{2^n}$