与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - ax + a + 8$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を $a$ を用いて表してください。 (2) $0 \le x \le 5$ の範囲で常に $f(x) \ge 0$ となるような $a$ の条件を求めてください。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - ax + a + 8$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を $a$ を用いて表してください。

(2) $0 \le x \le 5$ の範囲で常に $f(x) \ge 0$ となるような $a$ の条件を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるために、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = x^2 - ax + a + 8$

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + a + 8$

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + a + 8$

したがって、頂点の座標は $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a + 8)$ となります。

(2) $0 \le x \le 5$ の範囲で常に $f(x) \ge 0$ となるような $a$ の条件を求めます。

まず、頂点の $x$ 座標 $\frac{a}{2}$ の位置によって場合分けをします。

(i) $\frac{a}{2} \le 0$ のとき、$a \le 0$ となりますが、$a$ は正の定数なので、この場合は考えません。

(ii) $0 \le \frac{a}{2} \le 5$ のとき、$0 \le a \le 10$ となります。

このとき、$f(x)$ の最小値は $x = \frac{a}{2}$ のときの $f(\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{4} + a + 8$ となります。

$f(x) \ge 0$ となるためには、$f(\frac{a}{2}) \ge 0$ である必要があります。

$-\frac{a^2}{4} + a + 8 \ge 0$

$-a^2 + 4a + 32 \ge 0$

$a^2 - 4a - 32 \le 0$

$(a - 8)(a + 4) \le 0$

$-4 \le a \le 8$

$0 \le a \le 10$ と $-4 \le a \le 8$ の共通範囲は $0 \le a \le 8$ となります。

$a$ は正の定数なので、$0 < a \le 8$ です。

(iii) $\frac{a}{2} > 5$ のとき、$a > 10$ となります。

このとき、$f(x)$ は $0 \le x \le 5$ で単調減少するので、$f(5) \ge 0$ であれば $f(x) \ge 0$ となります。

$f(5) = 5^2 - 5a + a + 8 = 25 - 4a + 8 = 33 - 4a \ge 0$

$4a \le 33$

$a \le \frac{33}{4} = 8.25$

これは、$a > 10$ を満たさないので、この場合は考えません。

したがって、$0 < a \le 8$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a + 8)$

(2) $a$ の条件: $0 < a \le 8$