与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ に対して、次の計算結果を求めます。 * $Ax$ * $x^T A^T$ * $x^T A x$ * $x^T A^T x$ * $x^T A^T A x$ ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}$、 $x = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ に対して、次の計算結果を求めます。

* $Ax$

* $x^T A^T$

* $x^T A x$

* $x^T A^T x$

* $x^T A^T A x$

ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}$、 $x = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$A^T$を求めます。$A^T$は$A$の転置行列なので、

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

次に、各計算を順番に行います。

* $Ax$

$Ax = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 0 + 4 \\ 0 + 4 - 2 \\ 0 + 6 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $x^T A^T$

$x^T A^T = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 0 + 4 & 0 + 4 - 2 & 0 + 6 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

* $x^T A x$

$x^T A x = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 - 4 - 2 = -6$

* $x^T A^T x$

$A^T x = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 2 - 3 \\ 0 + 4 + 3 \\ 0 - 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix}$

$x^T A^T x = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} = 0 - 14 + 8 = -6$

* $x^T A^T A x$

$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 + 9 & 0 + 2 - 9 & -4 - 2 + 12 \\ 0 + 2 - 9 & 0 + 4 + 9 & 0 - 4 - 12 \\ -4 - 2 + 12 & 0 - 4 - 12 & 16 + 4 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -7 & 6 \\ -7 & 13 & -16 \\ 6 & -16 & 36 \end{pmatrix}$

$A^T A x = \begin{pmatrix} 11 & -7 & 6 \\ -7 & 13 & -16 \\ 6 & -16 & 36 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 14 - 6 \\ 0 - 26 + 16 \\ 0 + 32 - 36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ -4 \end{pmatrix}$

$x^T A^T A x = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ -4 \end{pmatrix} = 0 + 20 + 4 = 24$

3. 最終的な答え

* $Ax = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $x^T A^T = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

* $x^T A x = -6$

* $x^T A^T x = -6$

* $x^T A^T A x = 24$