与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の行列を計算する問題です。 * $-4A - 3B$ * $AB$ * $BA$ * $A^T B^T$ * $B^T A^T$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の行列を計算する問題です。

* $-4A - 3B$

* $AB$

* $BA$

* $A^T B^T$

* $B^T A^T$

2. 解き方の手順

* $-4A - 3B$ を計算します。

まず、$-4A$ を計算します。

$-4A = -4 \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 12 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$

次に、$-3B$ を計算します。

$3B = 3 \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$

したがって、

$-4A - 3B = \begin{pmatrix} 16 & 12 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$

* $AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(1) + (-3)(3) & -4(4) + (-3)(2) \\ -2(1) + (-1)(3) & -2(4) + (-1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 9 & -16 - 6 \\ -2 - 3 & -8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 & -22 \\ -5 & -10 \end{pmatrix}$

* $BA$ を計算します。

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(-4) + 4(-2) & 1(-3) + 4(-1) \\ 3(-4) + 2(-2) & 3(-3) + 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 8 & -3 - 4 \\ -12 - 4 & -9 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & -7 \\ -16 & -11 \end{pmatrix}$

* $A^T B^T$ を計算します。

まず、$A^T$ と $B^T$ を計算します。

$A^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$

$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、

$A^T B^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(1) + (-2)(4) & -4(3) + (-2)(2) \\ -3(1) + (-1)(4) & -3(3) + (-1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 8 & -12 - 4 \\ -3 - 4 & -9 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & -16 \\ -7 & -11 \end{pmatrix}$

これは、$BA$ と同じになります。

* $B^T A^T$ を計算します。

$B^T A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(-4) + 3(-3) & 1(-2) + 3(-1) \\ 4(-4) + 2(-3) & 4(-2) + 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 9 & -2 - 3 \\ -16 - 6 & -8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 & -5 \\ -22 & -10 \end{pmatrix}$

これは、$AB$ と同じになります。

3. 最終的な答え

* $-4A - 3B = \begin{pmatrix} 13 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$

* $AB = \begin{pmatrix} -13 & -22 \\ -5 & -10 \end{pmatrix}$

* $BA = \begin{pmatrix} -12 & -7 \\ -16 & -11 \end{pmatrix}$

* $A^T B^T = \begin{pmatrix} -12 & -16 \\ -7 & -11 \end{pmatrix}$

* $B^T A^T = \begin{pmatrix} -13 & -5 \\ -22 & -10 \end{pmatrix}$