行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の行列を計算する。 * $-5A + 2B$ * $A^T B$ * $B^T A$ * $AB^T$ * $BA^T$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の行列を計算する。

* $-5A + 2B$

* $A^T B$

* $B^T A$

* $AB^T$

* $BA^T$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの行列の計算に必要な要素を計算する。

* $-5A$ を計算する。

$$-5A = -5 \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 10 & -15 & -10 \end{pmatrix}$$

* $2B$ を計算する。

$$2B = 2 \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 6 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}$$

* $A^T$ (Aの転置行列) を計算する。

$$A^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

* $B^T$ (Bの転置行列) を計算する。

$$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

次に、これらの要素を用いて、各問題を解く。

* $-5A + 2B$ を計算する。

$$-5A + 2B = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 10 & -15 & -10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -2 & 6 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \\ 10 & -19 & -6 \end{pmatrix}$$

* $A^T B$ を計算する。

$$A^T B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 & -7 \\ 0 & -6 & 6 \\ 1 & -5 & 7 \end{pmatrix}$$

* $B^T A$ を計算する。

$$B^T A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 3 & -6 & -5 \\ -7 & 6 & 7 \end{pmatrix}$$

* $AB^T$ を計算する。

$$AB^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$

* $BA^T$ を計算する。

$$BA^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$

3. 最終的な答え

* $-5A + 2B = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \\ 10 & -19 & -6 \end{pmatrix}$

* $A^T B = \begin{pmatrix} -1 & 5 & -7 \\ 0 & -6 & 6 \\ 1 & -5 & 7 \end{pmatrix}$

* $B^T A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 3 & -6 & -5 \\ -7 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

* $AB^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$

* $BA^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$