与えられた定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分を実行します。

$\int (6x^2 - 6x + 1) dx = 6\int x^2 dx - 6\int x dx + \int 1 dx$

$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

$= 2x^3 - 3x^2 + x + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx = [2x^3 - 3x^2 + x]_{0}^{4}$

$= (2(4^3) - 3(4^2) + 4) - (2(0^3) - 3(0^2) + 0)$

$= (2(64) - 3(16) + 4) - 0$

$= (128 - 48 + 4)$

$= 80 + 4 = 84$

3. 最終的な答え

84