わかりました。画像の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

与えられた関数 $y$ について、その微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。 具体的には、以下の関数について微分を求めます。

(h) $y = \arctan(\frac{1}{x})$

(i) $y = \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{2}})$

(j) $y = \arcsin(\frac{x+1}{\sqrt{3}})$

(k) $y = (\arcsin(\frac{x}{\sqrt{5}}))^2$

(l) $y = \frac{1}{\arcsin(4x)}$

(m) $y = \frac{1}{\arctan(x)}$

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2. 解き方の手順**

各問題について、以下の手順で微分を計算します。

(h) $y = \arctan(\frac{1}{x})$

合成関数の微分公式を使います。$\frac{d}{dx} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$

$u = \frac{1}{x}$ とすると、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2+1}$

(i) $y = \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{2}})$

$u = \frac{x-1}{\sqrt{2}}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{x-1}{\sqrt{2}})^2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{1+\frac{(x-1)^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{2+(x-1)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}(2+(x-1)^2)} = \frac{\sqrt{2}}{2+(x-1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2+x^2-2x+1} = \frac{\sqrt{2}}{x^2-2x+3}$

(j) $y = \arcsin(\frac{x+1}{\sqrt{3}})$

$u = \frac{x+1}{\sqrt{3}}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+1}{\sqrt{3}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(x+1)^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3-(x+1)^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3-(x+1)^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3-(x^2+2x+1)}} = \frac{1}{\sqrt{2-2x-x^2}}$

(k) $y = (\arcsin(\frac{x}{\sqrt{5}}))^2$

$u = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{5}})$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{5}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{5}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5-x^2}{5}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx} = 2\arcsin(\frac{x}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{5-x^2}} = \frac{2\arcsin(\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5-x^2}}$

(l) $y = \frac{1}{\arcsin(4x)} = (\arcsin(4x))^{-1}$

$u = \arcsin(4x)$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = -1(\arcsin(4x))^{-2} \cdot \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} = -\frac{4}{(\arcsin(4x))^2 \sqrt{1-16x^2}}$

(m) $y = \frac{1}{\arctan(x)} = (\arctan(x))^{-1}$

$u = \arctan(x)$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = -1(\arctan(x))^{-2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = -\frac{1}{(\arctan(x))^2 (1+x^2)}$

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3. 最終的な答え**

(h) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2+1}$

(i) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2}}{x^2-2x+3}$

(j) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2-2x-x^2}}$

(k) $\frac{dy}{dx} = \frac{2\arcsin(\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5-x^2}}$

(l) $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{(\arcsin(4x))^2 \sqrt{1-16x^2}}$

(m) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(\arctan(x))^2 (1+x^2)}$