画像に写っている練習問題の極限値を求めます。具体的には、以下の5つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos^2 x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$

1. 問題の内容

画像に写っている練習問題の極限値を求めます。具体的には、以下の5つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos^2 x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos^2 x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 = 1^2 = 1$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 3

(4) 1

(5) 2