次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \pi} \frac{\tan x}{x - \pi}$ (2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi}$ (3) $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \pi} \frac{\tan x}{x - \pi}$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi}$

(3) $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \pi} \frac{\tan x}{x - \pi}$

$x - \pi = t$ と置換すると、$x = t + \pi$ となり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$となる。

よって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\tan x}{x - \pi} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan (t + \pi)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi}$

$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$となる。

よって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos (t + \frac{\pi}{2})}{2(t + \frac{\pi}{2}) - \pi} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{2t} = -\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = -\frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$

$x - \pi = t$ と置換すると、$x = t + \pi$ となり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$となる。

よって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 + \cos (t + \pi)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2}$

$1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$ であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{t^2} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{t^2} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin \frac{t}{2}}{t} \cdot \frac{\sin \frac{t}{2}}{t}$

$= 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin \frac{t}{2}}{2 \cdot \frac{t}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{t}{2}}{2 \cdot \frac{t}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{t \to 0} \frac{\sin \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{2}$