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実数 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) に関する不等式 $\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$ を解け。

解析学三角関数不等式三角関数の合成三角関数の積和公式
2025/6/10

1. 問題の内容

実数 θ\theta (0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi) に関する不等式 sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ≥34\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4} を解け。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。
sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ≥34\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}
両辺に 44 を掛けます。
4sin⁡23θ−4sin⁡3θsin⁡θ+4sin⁡2θ≥34\sin^2 3\theta - 4\sin 3\theta \sin \theta + 4\sin^2 \theta \ge 3
4sin⁡23θ−4sin⁡3θsin⁡θ+4sin⁡2θ−3≥04\sin^2 3\theta - 4\sin 3\theta \sin \theta + 4\sin^2 \theta - 3 \ge 0
三角関数の積和の公式と2倍角の公式を使い、式を整理します。
4sin⁡23θ−4sin⁡3θsin⁡θ+4sin⁡2θ−3=(2sin⁡3θ−sin⁡θ)2+3sin⁡2θ−34\sin^2 3\theta - 4\sin 3\theta \sin \theta + 4\sin^2 \theta - 3 = (2\sin 3\theta - \sin \theta)^2 + 3\sin^2 \theta - 3
=(2sin⁡3θ−sin⁡θ)2+3(sin⁡2θ−1)= (2\sin 3\theta - \sin \theta)^2 + 3(\sin^2 \theta - 1)
=(2sin⁡3θ−sin⁡θ)2−3cos⁡2θ= (2\sin 3\theta - \sin \theta)^2 - 3\cos^2 \theta
ここで、2sin⁡3θ−sin⁡θ2\sin 3\theta - \sin \theta を計算します。
sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta であるから、
2sin⁡3θ−sin⁡θ=2(3sin⁡θ−4sin⁡3θ)−sin⁡θ=6sin⁡θ−8sin⁡3θ−sin⁡θ=5sin⁡θ−8sin⁡3θ2\sin 3\theta - \sin \theta = 2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) - \sin \theta = 6\sin \theta - 8\sin^3 \theta - \sin \theta = 5\sin \theta - 8\sin^3 \theta
したがって、
(2sin⁡3θ−sin⁡θ)2−3cos⁡2θ=(5sin⁡θ−8sin⁡3θ)2−3(1−sin⁡2θ)≥0(2\sin 3\theta - \sin \theta)^2 - 3\cos^2 \theta = (5\sin \theta - 8\sin^3 \theta)^2 - 3(1-\sin^2 \theta) \ge 0
しかし、この方法では式が複雑になりすぎるため、別の方法を試します。
sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ≥34\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}
sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ−34≥0\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta - \frac{3}{4} \ge 0
sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ=1−cos⁡6θ2−cos⁡(3θ−θ)−cos⁡(3θ+θ)2+1−cos⁡2θ2\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 6\theta}{2} - \frac{\cos(3\theta - \theta) - \cos(3\theta + \theta)}{2} + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
=1−cos⁡6θ2−cos⁡2θ−cos⁡4θ2+1−cos⁡2θ2=1−cos⁡6θ+2cos⁡2θ−cos⁡4θ2= \frac{1 - \cos 6\theta}{2} - \frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{2} + \frac{1 - \cos 2\theta}{2} = 1 - \frac{\cos 6\theta + 2\cos 2\theta - \cos 4\theta}{2}
1−cos⁡6θ+2cos⁡2θ−cos⁡4θ2≥341 - \frac{\cos 6\theta + 2\cos 2\theta - \cos 4\theta}{2} \ge \frac{3}{4}
14≥cos⁡6θ+2cos⁡2θ−cos⁡4θ2\frac{1}{4} \ge \frac{\cos 6\theta + 2\cos 2\theta - \cos 4\theta}{2}
12≥cos⁡6θ+2cos⁡2θ−cos⁡4θ\frac{1}{2} \ge \cos 6\theta + 2\cos 2\theta - \cos 4\theta
cos⁡6θ−cos⁡4θ+2cos⁡2θ≤12\cos 6\theta - \cos 4\theta + 2\cos 2\theta \le \frac{1}{2}
−2sin⁡5θsin⁡θ+2cos⁡2θ≤12-2\sin 5\theta \sin \theta + 2\cos 2\theta \le \frac{1}{2}
sin⁡5θsin⁡θ−cos⁡2θ≥−14\sin 5\theta \sin \theta - \cos 2\theta \ge -\frac{1}{4}
この式も複雑になるので、別の見方を探します。
平方完成を試みる。
sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ≥34\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}
(sin⁡3θ−12sin⁡θ)2+sin⁡2θ−14sin⁡2θ≥34(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta)^2 + \sin^2 \theta - \frac{1}{4}\sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}
(sin⁡3θ−12sin⁡θ)2+34sin⁡2θ≥34(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta)^2 + \frac{3}{4}\sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}
(sin⁡3θ−12sin⁡θ)2≥34−34sin⁡2θ=34cos⁡2θ(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta)^2 \ge \frac{3}{4} - \frac{3}{4}\sin^2 \theta = \frac{3}{4}\cos^2 \theta
∣sin⁡3θ−12sin⁡θ∣≥32∣cos⁡θ∣|\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta| \ge \frac{\sqrt{3}}{2}|\cos \theta|
ここで、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} を代入すると、
∣sin⁡3π2−12sin⁡π2∣=∣−1−12∣=32|\sin \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{2}| = |-1 - \frac{1}{2}| = \frac{3}{2}, 32∣cos⁡π2∣=0\frac{\sqrt{3}}{2}|\cos \frac{\pi}{2}| = 0
したがって、32≥0\frac{3}{2} \ge 0 となり、これは不等式を満たします。
θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} の場合、
∣sin⁡π2−12sin⁡π6∣=∣1−12⋅12∣=34|\sin \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{6}| = |1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}| = \frac{3}{4}, 32∣cos⁡π6∣=32⋅32=34\frac{\sqrt{3}}{2}|\cos \frac{\pi}{6}| = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}
34≥34\frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}.
等号が成立する。
sin⁡3θ−12sin⁡θ=±32cos⁡θ\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta
sin⁡23θ−sin⁡3θsin⁡θ+sin⁡2θ≥34\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}
sin⁡3θ=sin⁡θ\sin 3\theta = \sin \theta であるとき、0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi より 3θ=θ3\theta = \theta または 3θ=π−θ3\theta = \pi - \theta
θ=0\theta = 0 または θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}
sin⁡20−sin⁡0sin⁡0+sin⁡20=0≥34\sin^2 0 - \sin 0 \sin 0 + \sin^2 0 = 0 \ge \frac{3}{4} は不成立
sin⁡23π4−sin⁡3π4sin⁡π4+sin⁡2π4=(12)2−(12)(12)+(12)2=12−12+12=12≥34\sin^2 \frac{3\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{\pi}{4} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ge \frac{3}{4}　は不成立
θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}. sin⁡23π2−sin⁡3π2sin⁡π2+sin⁡2π2=1−(−1)(1)+1=3≥34\sin^2 \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{3\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + \sin^2 \frac{\pi}{2} = 1 - (-1)(1) + 1 = 3 \ge \frac{3}{4}

3. 最終的な答え

θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}
θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}.
θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6}.
θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}

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