(1) $a > 0$, $n \ge 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つことを証明する。 (2) $r > 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $a > 0$, $n \ge 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つことを証明する。

(2) $r > 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

二項定理を用いて $(1+a)^n$ を展開する。

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k = 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3 + \cdots + a^n$

$a > 0$ より、

$(1+a)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3$

よって、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つ。

(2)

$r > 1$ であるから、$r = 1 + h$ とおくと、$h > 0$ である。

二項定理より、$r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k > \binom{n}{3} h^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$ (for $n \ge 3$).

したがって、

$0 < \frac{n^2}{r^n} < \frac{n^2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3} = \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2) h^3} = \frac{6n^2}{n(n^2-3n+2) h^3} = \frac{6n}{ (n^2-3n+2) h^3}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n^2-3n+2) h^3} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$