$y = \sqrt{x+1}-1$, $y = 0$, $x = 3$ で囲まれた領域を$x$軸周りに回転させたときの体積を求めます。

1. 問題の内容

$y = \sqrt{x+1}-1$, $y = 0$, $x = 3$ で囲まれた領域を$x$軸周りに回転させたときの体積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を使って求めることができます。

$x$軸周りの回転体の体積$V$は、$V = \pi \int_a^b y^2 dx$ で計算できます。

ここで、$a$と$b$は積分範囲の$x$座標です。

まず、$y = \sqrt{x+1} - 1$ と $y = 0$ の交点を求めます。

$\sqrt{x+1} - 1 = 0$ を解くと、$\sqrt{x+1} = 1$ となり、$x+1 = 1$ より $x = 0$ となります。

したがって、積分範囲は $0 \le x \le 3$ です。

次に、$y^2$ を計算します。

$y^2 = (\sqrt{x+1} - 1)^2 = (x+1) - 2\sqrt{x+1} + 1 = x + 2 - 2\sqrt{x+1}$

体積 $V$ は次の積分で計算されます。

$V = \pi \int_0^3 (x + 2 - 2\sqrt{x+1}) dx$

各項を積分します。

$\int_0^3 x dx = \frac{1}{2}x^2 |_0^3 = \frac{1}{2}(3^2 - 0^2) = \frac{9}{2}$

$\int_0^3 2 dx = 2x |_0^3 = 2(3 - 0) = 6$

$\int_0^3 2\sqrt{x+1} dx$ は、置換積分で計算します。

$u = x+1$ とすると、$du = dx$ であり、積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$, $x=3$ のとき $u=4$ となります。

$\int_1^4 2\sqrt{u} du = 2 \int_1^4 u^{\frac{1}{2}} du = 2 \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} |_1^4 = \frac{4}{3} (4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{4}{3} (8 - 1) = \frac{28}{3}$

したがって、$V = \pi (\frac{9}{2} + 6 - \frac{28}{3}) = \pi (\frac{27 + 36 - 56}{6}) = \pi (\frac{7}{6})$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{6}\pi$