与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 2点A(-3, 0), B(3, 0)に対して、$AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点Pの軌跡を求めます。 (2) 2点A(-1, 0), B(1, 0)に対して、$AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 2点A(-3, 0), B(3, 0)に対して、$AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点Pの軌跡を求めます。

(2) 2点A(-1, 0), B(1, 0)に対して、$AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を(x, y)とします。$AP^2$と$BP^2$を計算します。

$AP^2 = (x + 3)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 3)^2 + y^2$

$AP^2 + BP^2 = 20$ に代入します。

$(x + 3)^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 = 20$

展開して整理します。

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 = 20$

$2x^2 + 2y^2 + 18 = 20$

$2x^2 + 2y^2 = 2$

$x^2 + y^2 = 1$

(2) 点Pの座標を(x, y)とします。$AP^2$と$BP^2$を計算します。

$AP^2 = (x + 1)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$AP^2 - BP^2 = 1$ に代入します。

$(x + 1)^2 + y^2 - ((x - 1)^2 + y^2) = 1$

展開して整理します。

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 1$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - x^2 + 2x - 1 - y^2 = 1$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 1$

(2) $x = \frac{1}{4}$