直線 $l: (a-4)x + 4y - a - 4 = 0$ (aは実数)が、$a$の値に関わらず通る定点の座標を求め、また、直線$l$が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: (a-4)x + 4y - a - 4 = 0$ (aは実数)が、$a$の値に関わらず通る定点の座標を求め、また、直線$l$が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値に関わらず通る定点を求める。

直線 $l$ の式を変形して、$a$ について整理します。

$$(a-4)x + 4y - a - 4 = 0$$

$$ax - 4x + 4y - a - 4 = 0$$

$$a(x-1) + (-4x + 4y - 4) = 0$$

この式が任意の $a$ に対して成り立つためには、

$$x - 1 = 0$$

$$-4x + 4y - 4 = 0$$

が同時に成立する必要があります。

$x - 1 = 0$ より $x = 1$ です。

$-4x + 4y - 4 = 0$ に $x = 1$ を代入すると、

$$-4(1) + 4y - 4 = 0$$

$$4y - 8 = 0$$

$$4y = 8$$

$$y = 2$$

よって、$a$ の値に関わらず通る定点の座標は $(1, 2)$ です。

(2) 直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値を求める。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $(a-4)x + 4y - a - 4 = 0$ の距離が円の半径 $1$ に等しくなる条件を考えます。点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|(a-4)(0) + 4(0) - a - 4|}{\sqrt{(a-4)^2 + 4^2}} = 1$$

$$\frac{|-a - 4|}{\sqrt{(a-4)^2 + 16}} = 1$$

$$|-a - 4| = \sqrt{(a-4)^2 + 16}$$

両辺を2乗して、

$$(-a-4)^2 = (a-4)^2 + 16$$

$$(a+4)^2 = (a-4)^2 + 16$$

$$a^2 + 8a + 16 = a^2 - 8a + 16 + 16$$

$$16a = 16$$

$$a = 1$$

したがって、直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値は $1$ です。

3. 最終的な答え

定点の座標は $(1, 2)$ であり、$a=1$ です。