右図のような道のある町で、A地点からD地点まで行く最短経路の数を求める問題です。ただし、(1)はB地点を、(2)はC地点を必ず通るという条件がついています。 (3)はA地点からD地点まで行く最短経路の総数を求めます。

1. 問題の内容

右図のような道のある町で、A地点からD地点まで行く最短経路の数を求める問題です。ただし、(1)はB地点を、(2)はC地点を必ず通るという条件がついています。 (3)はA地点からD地点まで行く最短経路の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点を通ってD地点まで行く場合:

まず、A地点からB地点までの最短経路の数を求めます。A地点からB地点までは、右に3回、上に2回移動する必要があります。したがって、最短経路の数は組み合わせで計算できます。

$$\binom{3+2}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

次に、B地点からD地点までの最短経路の数を求めます。B地点からD地点までは、右に2回、上に3回移動する必要があります。したがって、最短経路の数は組み合わせで計算できます。

$$\binom{2+3}{3} = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

A地点からB地点を経由してD地点まで行く最短経路の数は、AからBまでの経路数とBからDまでの経路数の積で計算できます。

$$10 \times 10 = 100$$

(2) A地点からC地点を通ってD地点まで行く場合:

まず、A地点からC地点までの最短経路の数を求めます。A地点からC地点までは、右に2回、上に4回移動する必要があります。したがって、最短経路の数は組み合わせで計算できます。

$$\binom{2+4}{2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

次に、C地点からD地点までの最短経路の数を求めます。C地点からD地点までは、右に3回、上に1回移動する必要があります。したがって、最短経路の数は組み合わせで計算できます。

$$\binom{3+1}{1} = \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!3!} = 4$$

A地点からC地点を経由してD地点まで行く最短経路の数は、AからCまでの経路数とCからDまでの経路数の積で計算できます。

$$15 \times 4 = 60$$

(3) A地点からD地点まで行く場合:

A地点からD地点までは、右に5回、上に5回移動する必要があります。したがって、最短経路の数は組み合わせで計算できます。

$$\binom{5+5}{5} = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$$

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 60通り

(3) 252通り