問題は2つのベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられたときに、以下のものを計算する。 (1) 内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ (2) ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$ (3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の張る平行四辺形の面積 (4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交し、ノルムが1のベクトル また、点 $A = (4, 3, -2)$ が与えられ、ベクトル $\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\vec{AC} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を満たすとき、3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は2つのベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ が与えられたときに、以下のものを計算する。

(1) 内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$

(2) ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$

(3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の張る平行四辺形の面積

(4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交し、ノルムが1のベクトル

また、点 $A = (4, 3, -2)$ が与えられ、ベクトル $\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $\vec{AC} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を満たすとき、3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

HW 10.

2. (1) 内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ は、対応する成分を掛けて足し合わせることで計算できる。

$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = (2)(-3) + (-1)(2) + (4)(1) = -6 - 2 + 4 = -4$

(2) ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は、以下の式で計算できる。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} (-1)(1) - (4)(2) \\ (4)(-3) - (2)(1) \\ (2)(2) - (-1)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 - 8 \\ -12 - 2 \\ 4 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の張る平行四辺形の面積は、ベクトル積のノルムである。

$\| \vec{a} \times \vec{b} \| = \sqrt{(-9)^2 + (-14)^2 + (1)^2} = \sqrt{81 + 196 + 1} = \sqrt{278}$

(4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルは、$\vec{a} \times \vec{b}$ またはその定数倍である。ノルムが1のベクトルを求めるために、$\vec{a} \times \vec{b}$ をそのノルムで割る。

$\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\| \vec{a} \times \vec{b} \|} = \frac{1}{\sqrt{278}} \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9/\sqrt{278} \\ -14/\sqrt{278} \\ 1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$

逆向きのベクトルも直交しノルムが1なので、

$\vec{n'} = -\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\| \vec{a} \times \vec{b} \|} = \frac{1}{\sqrt{278}} \begin{bmatrix} 9 \\ 14 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9/\sqrt{278} \\ 14/\sqrt{278} \\ -1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$

HW 10.

3. 3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を求める。$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は平面上のベクトルであるから、法線ベクトルは $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ で与えられる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(1) - (4)(2) \\ (4)(-3) - (2)(1) \\ (2)(2) - (-1)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix}$

平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表される。ここで、$\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ は法線ベクトルである。したがって、$-9x - 14y + z = d$ となる。点 $A = (4, 3, -2)$ が平面上にあるので、この座標を代入して $d$ を求める。

$-9(4) - 14(3) + (-2) = d$

$-36 - 42 - 2 = d$

$d = -80$

したがって、平面の方程式は $-9x - 14y + z = -80$ となる。または $9x + 14y - z = 80$ と表せる。

3. 最終的な答え

HW 10.

2. (1) $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = -4$

(2) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} -9 \\ -14 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $\| \vec{a} \times \vec{b} \| = \sqrt{278}$

(4) $\begin{bmatrix} -9/\sqrt{278} \\ -14/\sqrt{278} \\ 1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 9/\sqrt{278} \\ 14/\sqrt{278} \\ -1/\sqrt{278} \end{bmatrix}$

HW 10.

3. $9x + 14y - z = 80$