座標平面上に、放物線 $y=x^2$ 上の点P、円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ 上の点Q、直線 $y=x-4$ 上の点Rがある。 (1) QRの最小値を求める。 (2) PR+QRの最小値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に、放物線 $y=x^2$ 上の点P、円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ 上の点Q、直線 $y=x-4$ 上の点Rがある。

(1) QRの最小値を求める。

(2) PR+QRの最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心をC(3,1)とする。QRの最小値は、点Cと直線 $y=x-4$ との距離から円の半径を引いたものである。

点C(3,1)と直線 $x-y-4=0$ の距離dは、

$d = \frac{|3 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

円の半径は1なので、QRの最小値は $\sqrt{2}-1$ となる。

(2) Pは放物線 $y=x^2$ 上、Qは円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ 上、Rは直線 $y=x-4$ 上にある。

PR+QRの最小値を考える。

まず円の中心C(3,1)を直線 $y=x-4$ に関して対称移動した点をC'とする。

直線 $y=x-4$ の傾きは1なので、C'から直線 $y=x-4$ へ下ろした垂線の傾きは-1である。

C'(a,b)とすると、CC'の中点 $\left(\frac{3+a}{2}, \frac{1+b}{2}\right)$ が直線 $y=x-4$ 上にあるので、

$\frac{1+b}{2} = \frac{3+a}{2} - 4$

$1+b = 3+a - 8$

$b = a - 6$

また、CC'の傾きは-1なので、

$\frac{b-1}{a-3} = -1$

$b-1 = -a+3$

$b = -a+4$

これらを連立して解くと、

$a-6 = -a+4$

$2a = 10$

$a = 5$

$b = -5+4 = -1$

したがって、C'(5,-1)となる。

PR + QR = PR + QC' (なぜなら、点Qは円周上の点なのでQC = QC'である)

PR + QC' の最小値は、Pが放物線 $y=x^2$ 上にあり、C'(5,-1)が定点であることから、P, R, C'が一直線上に並ぶときである。しかし、Rは直線 $y=x-4$上にあるので、放物線 $y=x^2$ 上の点Pから円の中心の対称点C'(5,-1)まで直線を引き、直線 $y=x-4$との交点をRとするような状況を考える。

最小値は点C'から放物線 $y=x^2$ までの距離から円の半径を引いた値となる。

点(5,-1)と放物線 $y=x^2$ の距離は、放物線上の点$(t, t^2)$と点(5,-1)の距離の最小値を考える。

$d^2 = (t-5)^2 + (t^2+1)^2 = t^2 - 10t + 25 + t^4 + 2t^2 + 1 = t^4 + 3t^2 - 10t + 26$

$f'(t) = 4t^3 + 6t - 10$

$f'(t) = 0$ となるtを探す。

$f'(1) = 4 + 6 - 10 = 0$ なので、$t=1$ が解の一つである。

$4t^3 + 6t - 10 = (t-1)(4t^2 + 4t + 10)$

$4t^2 + 4t + 10 = 0$ は判別式 $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 16 - 160 = -144 < 0$ なので実数解を持たない。

したがって、 $t=1$ のみが実数解である。

$t=1$ のとき、点P(1,1)となり、距離は $\sqrt{(1-5)^2 + (1+1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

PR+QRの最小値は、$2\sqrt{5}-1$

3. 最終的な答え

(1) QRの最小値：$\sqrt{2}-1$

(2) PR+QRの最小値：$2\sqrt{5}-1$