$xy$ 平面上に、円 $C: x^2 + y^2 = 1$ がある。円 $C$ の外にある点 $A(\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$ から円 $C$ に引いた接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に、円 $C: x^2 + y^2 = 1$ がある。円 $C$ の外にある点 $A(\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$ から円 $C$ に引いた接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を $y=mx+n$ とおく。

これが点 $A(\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$ を通るので、

$-\frac{\sqrt{5}}{5} = m \frac{3\sqrt{5}}{5} + n$

$n = -\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} m$

よって、接線の方程式は $y = mx - \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} m$ となる。

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx - \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} m$ が接するための条件は、円の中心 $(0,0)$ と直線との距離が半径 $1$ に等しいことである。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{5} (1 + 3m)|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

$|\frac{\sqrt{5}}{5} (1 + 3m)| = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$\frac{5}{25} (1 + 6m + 9m^2) = m^2 + 1$

$\frac{1}{5} (1 + 6m + 9m^2) = m^2 + 1$

$1 + 6m + 9m^2 = 5m^2 + 5$

$4m^2 + 6m - 4 = 0$

$2m^2 + 3m - 2 = 0$

$(2m - 1)(m + 2) = 0$

$m = \frac{1}{2}, -2$

$m = \frac{1}{2}$ のとき、$n = -\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{5}}{10} - \frac{3\sqrt{5}}{10} = -\frac{5\sqrt{5}}{10} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$m = -2$ のとき、$n = -\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} (-2) = -\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{6\sqrt{5}}{5} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$

したがって、接線の方程式は

$y = \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{5}}{2}$ と $y = -2x + \sqrt{5}$

$2y = x - \sqrt{5}$

$x - 2y = \sqrt{5}$

$y = -2x + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$x - 2y = \sqrt{5}$

$y = -2x + \sqrt{5}$

すなわち、$x - 2y - \sqrt{5} = 0$ と $2x + y - \sqrt{5} = 0$