$\theta$ が第4象限の角であり、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

$\theta$ が第4象限の角であり、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta$ の値を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本公式を利用します。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ となり、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin \theta$ は負の値をとります。

よって、$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\tan \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用します。

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\tan \theta = -2\sqrt{2}$

## 問題2

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ であるとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求める。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ なので、 $(\frac{1}{2})^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$\frac{1}{4} = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{1}{2}(1 - (-\frac{3}{8})) = \frac{1}{2}(1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{11}{16}$

## 問題3

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\pi < \beta < \frac{3}{2}\pi$ であり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$、$\sin \beta = -\frac{3}{5}$ であるとき、$\sin (\alpha - \beta)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

加法定理 $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ を用います。

まず、$\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値を求めます。

$\alpha$ は第1象限の角なので、$\sin \alpha > 0$ です。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$

$\beta$ は第3象限の角なので、$\cos \beta < 0$ です。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \beta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = (\frac{5}{13})(-\frac{4}{5}) - (\frac{12}{13})(-\frac{3}{5})$

$= -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin (\alpha - \beta) = \frac{16}{65}$