三角形ABCにおいて、$AC + CD = AB$, $\angle ADC = 70^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$のとき、$\angle B$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC + CD = AB$, $\angle ADC = 70^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$のとき、$\angle B$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle DAC$を求めます。三角形ADCの内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle DAC = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ$

線分AB上に点Eをとり、$AE = AC$となるようにします。すると、$\triangle ACE$は二等辺三角形となり、$\angle AEC = \angle ACE$です。

また、$\angle CAE = 180^\circ - 2\angle ACE$となり、$\angle BAC = \angle BAE + \angle EAC$が成り立ちます。

$\angle ACE = \angle ACB = 80^\circ$なので、$\angle AEC = 80^\circ$。

また、$AC+CD = AB$より、$AE + CD = AB$、したがって、$CD = AB-AE = EB$。

三角形ADEにおいて、$\angle AED = 180^\circ - \angle AEC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$。

$\angle ADE = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$。

$\angle DAE = 180^\circ - 100^\circ - (180^\circ - 70^\circ) = 180^\circ - 100^\circ - 110^\circ$ は成り立たないので、点Eの取り方を変更します。

ACを延長した線上に、点Eをとり、$CD = CE$とします。すると、$\triangle CDE$は二等辺三角形となり、$\angle CDE = \angle CED$です。

$\angle DCE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$より、$\angle CDE = \angle CED = (180^\circ - 100^\circ)/2 = 40^\circ$。

したがって、$\angle ADE = \angle ADC + \angle CDE = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$。

$AC+CD = AB$だったので、$AE=AC+CE=AC+CD=AB$となり、$AE=AB$。つまり、$A,B,E$は同一直線上にあり、$E$は$AB$を延長した先に存在します。$\triangle ABE$は二等辺三角形となります。$\angle AEB=\angle ABE$です。

$\angle CAE = \angle ACB = 80^\circ$

$\angle BAE = 180^\circ - \angle CAE = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$。

$\angle AEB = (180^\circ - \angle BAE)/2 = (180^\circ - \angle BAE)/2 = (180^\circ - \angle BAE)/2$

$\angle AEB = 40^\circ$。

$AC+CD = AB$を利用します。$AE=AB=AC+CD$

$\angle ADB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - 80^\circ - x$

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB$

$\angle BAC = 180^\circ - \angle B - 80^\circ = 100^\circ - \angle B$

正弦定理より、$AB/\sin(\angle ACB) = AC/\sin(\angle B)$

$AB/\sin(80^\circ) = AC/\sin(\angle B)$

$AB = AC + CD$

$\angle B = 30^\circ$を仮定すると、$\angle BAC = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$

$\angle ADC = 70^\circ$なので、$\angle DAC = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ$

3. 最終的な答え

30°