曲線 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4$ について、傾きが12である接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4$ について、傾きが12である接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x)$ は接線の傾きを表すので、$f'(x) = 12$ となる $x$ の値を求める。

$f'(x) = 6x^2 + 6x$

$6x^2 + 6x = 12$

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

$x = -2$ のとき、

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = 2(-8) + 3(4) - 4 = -16 + 12 - 4 = -8$

接線の方程式は $y - (-8) = 12(x - (-2))$

$y + 8 = 12(x + 2)$

$y = 12x + 24 - 8$

$y = 12x + 16$

$x = 1$ のとき、

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 4 = 2 + 3 - 4 = 1$

接線の方程式は $y - 1 = 12(x - 1)$

$y = 12x - 12 + 1$

$y = 12x - 11$

3. 最終的な答え

傾きが12である接線の方程式は、$y = 12x + 16$ と $y = 12x - 11$ である。