与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 10}, \dots$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は

$\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 10}, \dots$

で与えられています。

2. 解き方の手順

この数列の一般項は $\frac{1}{(2n)(2n+2)}$ と表せます。この分数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2n)(2n+2)} = \frac{A}{2n} + \frac{B}{2n+2}$

両辺に $(2n)(2n+2)$ をかけると

$1 = A(2n+2) + B(2n)$

$1 = (2A+2B)n + 2A$

係数を比較して

$2A+2B = 0$

$2A = 1$

これより $A = \frac{1}{2}$、$B = -\frac{1}{2}$ なので、

$\frac{1}{(2n)(2n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k)(2k+2)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

$= \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

$= \frac{1}{4} \left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\right]$

$= \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$

$= \frac{1}{4} \left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{n}{4(n+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{4(n+1)}$