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与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + x - 2}$$

解析学極限因数分解代入
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。
lim⁡x→1x2+5x−6x2+x−2\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + x - 2}

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。
分子: x2+5x−6=(x−1)(x+6)x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)
分母: x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
したがって、
lim⁡x→1x2+5x−6x2+x−2=lim⁡x→1(x−1)(x+6)(x−1)(x+2)\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + x - 2} = \lim_{x\to 1} \frac{(x - 1)(x + 6)}{(x - 1)(x + 2)}
x≠1x \neq 1のとき、(x−1)(x - 1)で約分できます。
lim⁡x→1(x−1)(x+6)(x−1)(x+2)=lim⁡x→1x+6x+2\lim_{x\to 1} \frac{(x - 1)(x + 6)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x\to 1} \frac{x + 6}{x + 2}
x=1x = 1を代入します。
lim⁡x→1x+6x+2=1+61+2=73\lim_{x\to 1} \frac{x + 6}{x + 2} = \frac{1 + 6}{1 + 2} = \frac{7}{3}

3. 最終的な答え

73\frac{7}{3}

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