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与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x+2} $$

解析学極限因数分解不定形
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。
lim⁡x→−2x3+8x+2 \lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x+2}

2. 解き方の手順

x=−2x=-2 を x3+8x+2\frac{x^3+8}{x+2} に代入すると、(−2)3+8−2+2=−8+80=00\frac{(-2)^3+8}{-2+2}=\frac{-8+8}{0}=\frac{0}{0} となり、不定形となります。
したがって、分子を因数分解する必要があります。
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) の公式を利用します。
x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2x+4)x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4).
lim⁡x→−2x3+8x+2=lim⁡x→−2(x+2)(x2−2x+4)x+2 \lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}
x≠−2x \neq -2 のとき x+2x+2=1\frac{x+2}{x+2} = 1 であるので、
lim⁡x→−2(x+2)(x2−2x+4)x+2=lim⁡x→−2(x2−2x+4) \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2} = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4)
xx を −2-2 に近づけます。
lim⁡x→−2(x2−2x+4)=(−2)2−2(−2)+4=4+4+4=12 \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

3. 最終的な答え

12

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