次の極限を求めます。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x} $$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x}$$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、分子を有理化します。つまり、分子と分母に $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}$ を掛けます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})}$$

分子を展開すると、

$$(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}) = (1-x) - (1+x) = -2x$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{-2x}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})} = \lim_{x \to 0} \frac{-2}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}$$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1-x} \to 1$ かつ $\sqrt{1+x} \to 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{-2}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}} = \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$$

3. 最終的な答え

-1