与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。 (1) $y = x^{\frac{2}{3}}$ (2) $y = \sqrt[3]{x^5}$ (3) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ (4) $y = \sqrt{2x^2 - 3x}$ (5) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-1}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。

(1) $y = x^{\frac{2}{3}}$

(2) $y = \sqrt[3]{x^5}$

(3) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(4) $y = \sqrt{2x^2 - 3x}$

(5) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-1}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\frac{2}{3}}$ の微分

$y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

(2) $y = \sqrt[3]{x^5} = x^{\frac{5}{3}}$ の微分

$y' = \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$

(3) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$ の微分

$y' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2x^{\frac{5}{2}}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

(4) $y = \sqrt{2x^2 - 3x} = (2x^2 - 3x)^{\frac{1}{2}}$ の微分

$y' = \frac{1}{2}(2x^2 - 3x)^{-\frac{1}{2}}(4x - 3) = \frac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x}}$

(5) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-1}} = (x^2-1)^{-\frac{1}{3}}$ の微分

$y' = -\frac{1}{3}(x^2-1)^{-\frac{4}{3}}(2x) = -\frac{2x}{3(x^2-1)^{\frac{4}{3}}} = -\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^4}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

(2) $y' = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$

(3) $y' = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

(4) $y' = \frac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x}}$

(5) $y' = -\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^4}}$