問題5：数列 $a, b, -2$ が等差数列であり、数列 $a, -2, b$ が等比数列であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 問題6：初項が $-49$ 、公差が $4$ である等差数列 $\{a_n\}$ において、初項から第何項までの和が最小になるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

問題5：数列 $a, b, -2$ が等差数列であり、数列 $a, -2, b$ が等比数列であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

問題6：初項が $-49$ 、公差が $4$ である等差数列 $\{a_n\}$ において、初項から第何項までの和が最小になるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

問題5：

数列 $a, b, -2$ が等差数列であるので、

$2b = a + (-2)$

$a + 2 = 2b$

数列 $a, -2, b$ が等比数列であるので、

$(-2)^2 = ab$

$4 = ab$

連立方程式を解く。$a=2b-2$ を $4=ab$ に代入すると、

$4=(2b-2)b$

$4 = 2b^2 - 2b$

$2b^2 - 2b - 4 = 0$

$b^2 - b - 2 = 0$

$(b-2)(b+1) = 0$

$b=2, -1$

$b=2$ のとき、$a=2(2)-2=2$

$b=-1$ のとき、$a=2(-1)-2=-4$

問題6：

等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + (n-1)d$

ここで、$a_1 = -49$、$d = 4$ なので、

$a_n = -49 + (n-1)4 = -49 + 4n - 4 = 4n - 53$

等差数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(-49 + 4n - 53) = \frac{n}{2}(4n - 102) = n(2n - 51) = 2n^2 - 51n$

$S_n$ が最小になる $n$ を求める。$S_n = 2n^2 - 51n$ を平方完成する。

$S_n = 2(n^2 - \frac{51}{2}n) = 2( (n - \frac{51}{4})^2 - (\frac{51}{4})^2 ) = 2(n - \frac{51}{4})^2 - 2(\frac{51}{4})^2$

$n = \frac{51}{4} = 12.75$ のとき、$S_n$ は最小となる。

$n$ は整数なので、$n=12$ または $n=13$ が候補となる。

$a_n = 4n-53$

$a_{12} = 4(12) - 53 = 48 - 53 = -5$

$a_{13} = 4(13) - 53 = 52 - 53 = -1$

$a_{14} = 4(14) - 53 = 56 - 53 = 3$

$a_1$ から $a_n$ までの和が最小となるのは、$a_n$ が負の数のうちで絶対値が最も小さい場合、または $a_n < 0$ かつ $a_{n+1} > 0$ となる場合である。

したがって、$n=13$ のとき、$S_n$ は最小になる。

$S_{12} = 12(2(12) - 51) = 12(24-51) = 12(-27) = -324$

$S_{13} = 13(2(13) - 51) = 13(26-51) = 13(-25) = -325$

$S_{14} = 14(2(14) - 51) = 14(28 - 51) = 14(-23) = -322$

したがって、初項から第 $13$ 項までの和が最小になり、その和は $-325$ である。

3. 最終的な答え

問題5：$a=2, b=2$ または $a=-4, b=-1$

問題6：初項から第 $13$ 項までの和が最小になり、その和は $-325$ である。