質量2.0 kgの物体1が、高さ1.7 mの点Aから斜面を滑り落ち、摩擦のない水平面を進んで静止している質量2.0 kgの物体2に衝突する。衝突後の物体1は2.4 m/sで運動する。 (1) 点Aと点Bにおける物体1に働く力を図示する。 (2) 点Cでの物体1の速度を求める。 (3) 衝突前の物体1の速度を$v_1$, 衝突後の物体1の速度を$v_1'$, 衝突後の物体2の速度を$v_2'$とするとき、$v_2'$を$v_1$と$v_1'$を用いて表し、また$v_2'$を求める。

はい、問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

質量2.0 kgの物体1が、高さ1.7 mの点Aから斜面を滑り落ち、摩擦のない水平面を進んで静止している質量2.0 kgの物体2に衝突する。衝突後の物体1は2.4 m/sで運動する。

(1) 点Aと点Bにおける物体1に働く力を図示する。

(2) 点Cでの物体1の速度を求める。

(3) 衝突前の物体1の速度を$v_1$, 衝突後の物体1の速度を$v_1'$, 衝突後の物体2の速度を$v_2'$とするとき、$v_2'$を$v_1$と$v_1'$を用いて表し、また$v_2'$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aと点Bにおける物体1に働く力の図示

* 点A：重力、垂直抗力

* 点B：重力

**点Aにおける力**

重力: $mg = 2.0 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 19.6 \text{ N}$ (鉛直下向き)

垂直抗力: 斜面に垂直な方向。斜面となす角は60°

**点Bにおける力**

重力: $mg = 2.0 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 19.6 \text{ N}$ (鉛直下向き)

(2) 点Cでの物体1の速度の計算

点Aから点Bまでエネルギー保存則を適用する。斜面と物体間の動摩擦係数が与えられているので、摩擦によるエネルギー損失を考慮する必要がある。

まず、斜面の長さを求める。高さを$h=1.7 \text{ m}$、斜面の角度を$\theta = 60^\circ$とすると、斜面の長さ$L$は

$L = \frac{h}{\sin \theta} = \frac{1.7 \text{ m}}{\sin 60^\circ} = \frac{1.7 \text{ m}}{\sqrt{3}/2} = \frac{3.4 \text{ m}}{\sqrt{3}} \approx \frac{3.4}{1.7} \text{ m} = 2.0 \text{ m}$

点Aにおける物体の位置エネルギーを$U_A = mgh$、点Bにおける物体の速度を$v_B$とすると、エネルギー保存則は

$mgh = \frac{1}{2}mv_B^2 + \mu' mg \cos\theta \cdot L$

$v_B^2 = 2gh - 2\mu' g \cos\theta \cdot L = 2g(h-\mu'L \cos\theta)$

$v_B = \sqrt{2g(h-\mu'L \cos\theta)} = \sqrt{2(9.8)(1.7 - 0.70 \cdot 2.0 \cdot \cos 60^\circ)} = \sqrt{19.6(1.7 - 0.7)} = \sqrt{19.6} = \sqrt{10\cdot 1.96}\approx \sqrt{10}\sqrt{1.96}\approx 3.2\cdot 1.4 = 4.48\text{ m/s}$.

点Bから点Cまで摩擦がないので、速度は変化しない。したがって、点Cでの速度$v_C = v_B = 4.48\text{ m/s}$

(3) 衝突後の物体2の速度の計算

衝突前後の運動量保存則と反発係数の式を用いる。衝突前の物体1の速度を$v_1$, 衝突後の物体1の速度を$v_1'$, 衝突後の物体2の速度を$v_2'$とすると、

運動量保存則: $m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

$2.0 v_1 = 2.0 v_1' + 2.0 v_2'$

$v_1 = v_1' + v_2'$

したがって、$v_2' = v_1 - v_1'$

反発係数$e$が与えられていないので、弾性衝突を仮定すると$e=1$となる。

$v_2' - v_1' = e(v_1 - 0) = v_1$

$v_2' = v_1 + v_1'$

しかし、運動量保存則から、$v_2' = v_1 - v_1'$であるので、$v_1+v_1'=v_1-v_1'$となり、$v_1'=0$となる。この場合、運動量保存則より$v_2'=v_1$となる。これは衝突後、物体1が停止し、物体2が物体1の衝突前の速度と同じになることを意味する。

ここでは非弾性衝突として考える。問題文には衝突後の物体1の速度が与えられているので、これを用いて計算できる。

$v_1 = 4.48$ m/s, $v_1' = 2.4$ m/s

$v_2' = v_1 - v_1' = 4.48 - 2.4 = 2.08$ m/s

3. 最終的な答え

(1) 図は省略（上記参照）

(2) 点Cでの物体1の速度: 4.48 m/s

(3) $v_2' = v_1 - v_1'$, $v_2' = 2.08$ m/s