与えられた完全微分方程式を解く問題です。 微分方程式は、 $(y^3 + x^{-2}y^2)dx + (3xy^2 - 2x^{-1}y)dy = 0$ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた完全微分方程式を解く問題です。

微分方程式は、

$(y^3 + x^{-2}y^2)dx + (3xy^2 - 2x^{-1}y)dy = 0$

で与えられます。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式が完全微分方程式であることを確認し、その解を求めます。

ステップ1: 完全微分方程式であるかの確認

$M(x, y) = y^3 + x^{-2}y^2$

$N(x, y) = 3xy^2 - 2x^{-1}y$

と置きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3y^2 + 2x^{-2}y$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3y^2 + 2x^{-2}y$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ であるので、与えられた微分方程式は完全微分方程式です。

ステップ2: ポテンシャル関数$\phi(x, y)$を求める

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = M(x, y) = y^3 + x^{-2}y^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x, y) = 3xy^2 - 2x^{-1}y$

まず、$\frac{\partial \phi}{\partial x} = y^3 + x^{-2}y^2$ を $x$ について積分します。

$\phi(x, y) = \int (y^3 + x^{-2}y^2) dx = xy^3 - x^{-1}y^2 + h(y)$

ここで、$h(y)$ は $y$ だけの関数です。

次に、$\frac{\partial \phi}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 3xy^2 - 2x^{-1}y + h'(y)$

これと $\frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x, y) = 3xy^2 - 2x^{-1}y$ を比較すると、

$3xy^2 - 2x^{-1}y + h'(y) = 3xy^2 - 2x^{-1}y$

$h'(y) = 0$

したがって、$h(y) = C_1$ ($C_1$ は定数)

よって、$\phi(x, y) = xy^3 - x^{-1}y^2 + C_1$ となります。

ステップ3: 一般解を求める

$\phi(x, y) = C$ ($C$ は定数)

$xy^3 - x^{-1}y^2 = C - C_1$

$xy^3 - \frac{y^2}{x} = C - C_1$

$C-C_1$も任意定数なので、改めて$C$とおくと、

$xy^3 - \frac{y^2}{x} = C$

3. 最終的な答え

$xy^3 - \frac{y^2}{x} = C$