地点Aと地点Bを結ぶ一般道路（道路⑤）と高速道路（道路①）がある。道路⑤の制限速度は時速30km、道路①の制限速度は時速80kmである。道路⑤のAからBまでの距離は75km、道路①のAからBまでの距離は48kmである。道路⑤上に地点Pがあり、PからAまでの距離は10kmである。地点Qは道路⑤上にあり、PとBの間にある。PからQまで車で行く際、道路⑤だけを通る経路1と、Pから道路⑤を通ってAに行き、Aから道路①を通ってBに行き、Bから道路⑤を通ってQに行く経路2がある。PからQまでの距離を$x$ kmとしたとき、経路2の所要時間が経路1よりも短くなるような不等式を求め、空欄を埋める問題。ただし、$x < 65$である。

1. 問題の内容

地点Aと地点Bを結ぶ一般道路（道路⑤）と高速道路（道路①）がある。道路⑤の制限速度は時速30km、道路①の制限速度は時速80kmである。道路⑤のAからBまでの距離は75km、道路①のAからBまでの距離は48kmである。道路⑤上に地点Pがあり、PからAまでの距離は10kmである。地点Qは道路⑤上にあり、PとBの間にある。PからQまで車で行く際、道路⑤だけを通る経路1と、Pから道路⑤を通ってAに行き、Aから道路①を通ってBに行き、Bから道路⑤を通ってQに行く経路2がある。PからQまでの距離を$x$ kmとしたとき、経路2の所要時間が経路1よりも短くなるような不等式を求め、空欄を埋める問題。ただし、$x < 65$である。

2. 解き方の手順

経路2は、PからA、AからB、BからQという経路を通る。

PからAまでの距離は10kmなので、かかる時間は$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$時間。

AからBまでの距離は48kmなので、かかる時間は$\frac{48}{80} = \frac{3}{5}$時間。

BからQまでの距離は、AB間の距離75kmからAP間の距離10kmを引き、さらにPQ間の距離x kmを引いた距離、つまり$75 - 10 - x = 65 - x$ km。これにかかる時間は$\frac{65 - x}{30}$時間。

経路2の所要時間は、$\frac{10}{30} + \frac{48}{80} + \frac{65-x}{30} = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} + \frac{65-x}{30} = \frac{5}{15} + \frac{9}{15} + \frac{65-x}{30} = \frac{14}{15} + \frac{65-x}{30} = \frac{28}{30} + \frac{65-x}{30} = \frac{93 - x}{30}$時間。

経路1の所要時間は、PからQまでの距離がx kmで速度が30km/hなので、$\frac{x}{30}$時間。

経路2の時間が経路1より短いので、

$\frac{93 - x}{30} < \frac{x}{30}$

$93 - x < x$

$93 < 2x$

$x > \frac{93}{2}$

$x > 46.5$

経路2を選ぶとき、道路⑤を通っている時間は$\frac{10 + (65-x)}{30} = \frac{75-x}{30}$時間。

経路2を選んだ場合のPからQまでの所要時間は$\frac{10}{30} + \frac{48}{80} + \frac{65-x}{30} = \frac{93-x}{30}$時間。

経路2を選ぶ方が経路1を選ぶより短い時間でQに到着できることを表す不等式は

$\frac{93-x}{30} < \frac{x}{30}$。

3. 最終的な答え

経路2を選ぶとき、道路⑤を通っている時間は $\frac{75 - x}{30}$ 時間となるので、アイ = 75、ウエ = 30。

経路2を選んだ場合のPからQまでの所要時間は $\frac{75-x}{30} + \frac{48}{80} = \frac{93 - x}{30}$ 時間となるので、アイ = 75、ウエ = 30、オ = 48、カ = 80。

経路2を選ぶ方が経路1を選ぶより短い時間でQに到着できることを表す不等式は$\frac{93-x}{30} < \frac{x}{30}$。