天井の2点A, Bから長さ30.0 cmと40.0 cmの糸a, bで質量5.00 kgのおもりをつり下げた。A, B間が50.0 cmのとき、糸a, bの張力T, Sの大きさを求める。重力加速度の大きさは9.80 m/s²とする。

1. 問題の内容

天井の2点A, Bから長さ30.0 cmと40.0 cmの糸a, bで質量5.00 kgのおもりをつり下げた。A, B間が50.0 cmのとき、糸a, bの張力T, Sの大きさを求める。重力加速度の大きさは9.80 m/s²とする。

2. 解き方の手順

まず、三角形AOBを考える。AB = 50 cm, AO = 30 cm, BO = 40 cmであるから、これは3:4:5の直角三角形であることがわかる。したがって、∠AOB = 90°である。

次に、おもりにかかる力を考える。おもりには重力 $mg$、糸aの張力$T$、糸bの張力$S$がかかる。力のつり合いの式を立てるために、座標軸を設定する。Aを原点として、AB方向にx軸、それに垂直な方向にy軸を設定する。

糸aの張力$T$のx成分は、$T_x = -T \cos{\theta}$、y成分は、$T_y = T \sin{\theta}$である。

糸bの張力$S$のx成分は、$S_x = S \sin{\theta}$、y成分は、$S_y = S \cos{\theta}$である。

ただし、$\theta$は糸aとy軸のなす角（糸bとx軸のなす角）である。

力のつり合いの式は、

x方向：$-T \cos{\theta} + S \sin{\theta} = 0$

y方向：$T \sin{\theta} + S \cos{\theta} - mg = 0$

直角三角形AOBより、$\sin{\theta} = 40/50 = 4/5 = 0.8$、$\cos{\theta} = 30/50 = 3/5 = 0.6$である。

これらの値を代入すると、

$-0.6T + 0.8S = 0$

$0.8T + 0.6S - mg = 0$

最初の式より、$0.6T = 0.8S$なので、$T = (4/3)S$

2番目の式に代入すると、$0.8(4/3)S + 0.6S = mg$

$(3.2/3)S + (1.8/3)S = (5/3)S = mg$

$S = (3/5)mg$

$T = (4/3)S = (4/3)(3/5)mg = (4/5)mg$

与えられた値$m = 5.00 kg$, $g = 9.80 m/s^2$を代入する。

$S = (3/5) \times 5.00 \times 9.80 = 3 \times 9.80 = 29.4 N$

$T = (4/5) \times 5.00 \times 9.80 = 4 \times 9.80 = 39.2 N$

3. 最終的な答え

糸aの張力T = 39.2 N

糸bの張力S = 29.4 N