この問題は、斜方投射と水平投射に関する物理の問題です。 (1)では、物体Aを斜方投射した際の最高点に達するまでの時間、最高点の座標、地上に落ちるまでの時間、最大の水平到達距離を求める問題です。 (2)では、物体Aを斜方投射すると同時に、物体Bを水平投射し、物体Aと物体Bを衝突させるための条件を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、斜方投射と水平投射に関する物理の問題です。

(1)では、物体Aを斜方投射した際の最高点に達するまでの時間、最高点の座標、地上に落ちるまでの時間、最大の水平到達距離を求める問題です。

(2)では、物体Aを斜方投射すると同時に、物体Bを水平投射し、物体Aと物体Bを衝突させるための条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

ア：最高点に達するまでの時間

初速度の鉛直成分は $v_1 \sin\theta$ なので、鉛直方向の速度が0になるまでの時間 $t$ は、

$0 = v_1 \sin\theta - gt$

$t = \frac{v_1 \sin\theta}{g}$

イ：最高点のx座標

水平方向の速度は $v_1 \cos\theta$ で一定なので、最高点までの水平方向の移動距離 $x$ は、

$x = v_1 \cos\theta \cdot \frac{v_1 \sin\theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin 2\theta}{2g}$

ウ：最高点のy座標

等加速度運動の公式より、

$y = v_1 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_1 \sin\theta \cdot \frac{v_1 \sin\theta}{g} - \frac{1}{2} g (\frac{v_1 \sin\theta}{g})^2 = \frac{v_1^2 \sin^2\theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin^2\theta}{2g} = \frac{v_1^2 \sin^2\theta}{2g}$

エ：地上に落ちるまでの時間

最高点に達するまでの時間の2倍なので、

$T = 2t = \frac{2v_1 \sin\theta}{g}$

オ：最大の水平到達距離

水平到達距離は、

$R = v_1 \cos\theta \cdot \frac{2v_1 \sin\theta}{g} = \frac{2v_1^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin 2\theta}{g}$

$\theta = 45^\circ$のとき、$\sin 2\theta = \sin 90^\circ = 1$となり、水平到達距離が最大となる。

よって、最大の水平到達距離は、

$R_{max} = \frac{v_1^2}{g}$

(2)

カ：物体Aと物体Bのx座標が等しくなる時間

物体Aのx座標は、$x_A = v_1 \cos\theta \cdot t$

物体Bのx座標は、$x_B = s - v_2 t$

$x_A = x_B$より、

$v_1 \cos\theta \cdot t = s - v_2 t$

$t = \frac{s}{v_1 \cos\theta + v_2}$

キ：物体Aと物体Bのy座標が等しくなる時間

物体Aのy座標は、$y_A = v_1 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

物体Bのy座標は、$y_B = h - \frac{1}{2} g t^2$

$y_A = y_B$より、

$v_1 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = h - \frac{1}{2} g t^2$

$v_1 \sin\theta \cdot t = h$

$t = \frac{h}{v_1 \sin\theta}$

ク：衝突するための条件

物体Aと物体Bが衝突するには、x座標が等しくなる時間とy座標が等しくなる時間が一致する必要がある。

$\frac{s}{v_1 \cos\theta + v_2} = \frac{h}{v_1 \sin\theta}$

$s v_1 \sin\theta = h (v_1 \cos\theta + v_2)$

$\frac{h}{s} = \frac{v_1 \sin\theta}{v_1 \cos\theta + v_2}$

3. 最終的な答え

(1)

ア：$\frac{v_1 \sin\theta}{g}$

イ：$\frac{v_1^2 \sin 2\theta}{2g}$

ウ：$\frac{v_1^2 \sin^2\theta}{2g}$

エ：$\frac{2v_1 \sin\theta}{g}$

オ：$\frac{v_1^2}{g}$

(2)

カ：$\frac{s}{v_1 \cos\theta + v_2}$

キ：$\frac{h}{v_1 \sin\theta}$

ク：$\frac{v_1 \sin\theta}{v_1 \cos\theta + v_2}$