(2) 2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき, $\alpha^3 + \beta^3$, $\alpha^{49} + \beta^{49}$, $\alpha^{50} + \beta^{50}$ の値を求める。 (3) 方程式 $x^3 = 8$ の虚数解の1つを $\alpha$ とするとき, $\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ の値を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(2) 2次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき, $\alpha^3 + \beta^3$, $\alpha^{49} + \beta^{49}$, $\alpha^{50} + \beta^{50}$ の値を求める。

(3) 方程式 $x^3 = 8$ の虚数解の1つを $\alpha$ とするとき, $\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$x^2 - x + 1 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 1$

$\alpha\beta = 1$

$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$より$\alpha^2 = \alpha - 1$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 1^3 - 3(1)(1) = 1 - 3 = -2$

$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$に$\alpha + 1$をかけると,

$(\alpha+1)(\alpha^2 - \alpha + 1) = \alpha^3 + 1 = 0$

$\alpha^3 = -1$ よって$\beta^3 = -1$

$\alpha^{49} + \beta^{49} = (\alpha^3)^{16}\alpha + (\beta^3)^{16}\beta = (-1)^{16}\alpha + (-1)^{16}\beta = \alpha + \beta = 1$

$\alpha^{50} + \beta^{50} = (\alpha^3)^{16}\alpha^2 + (\beta^3)^{16}\beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

(3)

$x^3 = 8$ より $x^3 - 8 = 0$, $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

虚数解は $x^2 + 2x + 4 = 0$ の解であり、$\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$を満たす。

よって $\alpha^2 = -2\alpha - 4$

$\alpha^3 = 8$

$\alpha^4 = \alpha\alpha^3 = 8\alpha$

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = 8\alpha + 6(8) + 8(-2\alpha - 4) + 8\alpha = 8\alpha + 48 - 16\alpha - 32 + 8\alpha = 16$

3. 最終的な答え

(2)

$\alpha^3 + \beta^3 = -2$

$\alpha^{49} + \beta^{49} = 1$

$\alpha^{50} + \beta^{50} = -1$

(3)

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = 16$