問題は2つの部分から構成されています。 (1) $(x+1)^8(x-1)^4$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数を求めよ。 (2) $(x^2 + x + 1)^6$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) $(x+1)^8(x-1)^4$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数を求めよ。

(2) $(x^2 + x + 1)^6$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)^8(x-1)^4$ の展開について

まず、$(x-1)^4$ を展開します。

$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

次に、$(x+1)^8$ を展開することを考えます。一般に、$(x+1)^n$ の展開における $x^k$ の項の係数は二項係数 ${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で与えられます。

$(x+1)^8(x-1)^4$ の展開における $x^{10}$ の項は、次の組み合わせによって現れます。

* $(x+1)^8$ の $x^6$ の項と $(x-1)^4$ の $x^4$ の項

* $(x+1)^8$ の $x^7$ の項と $(x-1)^4$ の $x^3$ の項

* $(x+1)^8$ の $x^8$ の項と $(x-1)^4$ の $x^2$ の項

* $(x+1)^8$ の $x^9$ の項と $(x-1)^4$ の $x^1$ の項

* $(x+1)^8$ の $x^{10}$ の項と $(x-1)^4$ の定数項

それぞれの組み合わせの係数を計算します。

* ${}_8 C_6 \cdot 1 = \frac{8!}{6!2!} \cdot 1 = 28$

* ${}_8 C_7 \cdot (-4) = \frac{8!}{7!1!} \cdot (-4) = 8 \cdot (-4) = -32$

* ${}_8 C_8 \cdot 6 = \frac{8!}{8!0!} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$

* $x^9$の項が存在しないので考慮しない

* $x^{10}$の項が存在しないので考慮しない

したがって、$x^{10}$ の項の係数は $28 - 32 + 6 = 2$ です。

(2) $(x^2 + x + 1)^6$ の展開について

$x^2 + x + 1$ を $A$, $B$, $C$ と考え、それぞれ $x^2$, $x$, $1$ を選ぶ回数を $a$, $b$, $c$ とすると、

$a + b + c = 6$ であり、$2a + b = 10$ である必要があります。

条件を満たす $(a, b, c)$ の組み合わせは以下の通りです。

* $(5, 0, 1)$: $a = 5$, $b = 0$, $c = 1$

* $(4, 2, 0)$: $a = 4$, $b = 2$, $c = 0$

これらの組み合わせに対する係数を計算します。多項定理より、係数は $\frac{6!}{a!b!c!}$ で与えられます。

* $(5, 0, 1)$: $\frac{6!}{5!0!1!} = 6$

* $(4, 2, 0)$: $\frac{6!}{4!2!0!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

したがって、$x^{10}$ の項の係数は $6 + 15 = 21$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^8(x-1)^4$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数は 2 です。

(2) $(x^2 + x + 1)^6$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数は 21 です。