与えられた3つの連立方程式 \begin{align*} 2x+3(k+1)y&=8 \tag{1}\\ (k+2)x+7y&=3(k+1) \tag{2}\\ x +4ky&=7 \tag{3} \end{align*} が解 $x, y$ を持つように $k$ の値を定める。

1. 問題の内容

与えられた3つの連立方程式

\begin{align*}

2x+3(k+1)y&=8 \tag{1}\\

(k+2)x+7y&=3(k+1) \tag{2}\\

x +4ky&=7 \tag{3}

\end{align*}

が解 $x, y$ を持つように $k$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、式(3)から $x$ を $y$ と $k$ で表す。

$x = 7 - 4ky$ \tag{4}

次に、式(4)を式(1)と式(2)に代入する。

式(1)に代入すると、

$2(7-4ky) + 3(k+1)y = 8$

$14 - 8ky + 3ky + 3y = 8$

$(-5k+3)y = -6$

$y = \frac{-6}{-5k+3} = \frac{6}{5k-3}$ \tag{5}

式(2)に代入すると、

$(k+2)(7-4ky) + 7y = 3(k+1)$

$7(k+2) - 4k(k+2)y + 7y = 3k+3$

$7k+14 - 4k^2y - 8ky + 7y = 3k+3$

$(-4k^2-8k+7)y = -4k-11$

$y = \frac{-4k-11}{-4k^2-8k+7} = \frac{4k+11}{4k^2+8k-7}$ \tag{6}

式(5)と式(6)より、

$\frac{6}{5k-3} = \frac{4k+11}{4k^2+8k-7}$

$6(4k^2+8k-7) = (5k-3)(4k+11)$

$24k^2+48k-42 = 20k^2 + 55k -12k - 33$

$4k^2 + 5k - 9 = 0$

$(4k+9)(k-1) = 0$

$k = 1, -\frac{9}{4}$

$k=1$の場合：

式(3)より $x+4y=7$

式(1)より $2x+6y=8$, つまり $x+3y=4$

これらの連立方程式を解くと、$y=3, x=-5$

$k=-\frac{9}{4}$の場合：

式(3)より $x-9y=7$

式(1)より $2x + 3(-\frac{9}{4}+1)y = 8$

$2x + 3(-\frac{5}{4})y = 8$

$2x - \frac{15}{4}y = 8$

$8x - 15y = 32$

これらの連立方程式を解く：

$x = 7+9y$を$8x - 15y = 32$に代入

$8(7+9y) - 15y = 32$

$56 + 72y - 15y = 32$

$57y = -24$

$y = -\frac{24}{57} = -\frac{8}{19}$

$x = 7 + 9(-\frac{8}{19}) = 7 - \frac{72}{19} = \frac{133-72}{19} = \frac{61}{19}$

3. 最終的な答え

$k = 1, -\frac{9}{4}$