$x = \frac{2}{\sqrt{6}-2}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{6}+2}$ のとき、以下の値を求める問題です。 (1) $x$ と $y$ の分母を有理化する。 (2) $x+y$ の値を求める。 (3) $xy$ の値を求める。 (4) $x^2+y^2$ の値を求める。 (5) $x^3+y^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{6}-2}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{6}+2}$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $x$ と $y$ の分母を有理化する。

(2) $x+y$ の値を求める。

(3) $xy$ の値を求める。

(4) $x^2+y^2$ の値を求める。

(5) $x^3+y^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

$y = \frac{2}{\sqrt{6}+2} = \frac{2(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{2(\sqrt{6}-2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}-2)}{2} = \sqrt{6}-2$

(2) $x+y$ の値を求めます。

$x+y = (\sqrt{6}+2) + (\sqrt{6}-2) = 2\sqrt{6}$

(3) $xy$ の値を求めます。

$xy = (\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = 6-4 = 2$

(4) $x^2+y^2$ の値を求めます。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{6})^2 - 2(2) = 4(6) - 4 = 24-4 = 20$

(5) $x^3+y^3$ の値を求めます。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = (2\sqrt{6})((2\sqrt{6})^2 - 3(2)) = (2\sqrt{6})(24-6) = (2\sqrt{6})(18) = 36\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \sqrt{6}+2$, $y = \sqrt{6}-2$

(2) $x+y = 2\sqrt{6}$

(3) $xy = 2$

(4) $x^2+y^2 = 20$

(5) $x^3+y^3 = 36\sqrt{6}$