$x = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$、$y = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$のとき、以下の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$、$y = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$のとき、以下の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$を計算します。

$x = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$と$y = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$を通分して足し合わせます。

$x+y = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} + \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$

$x+y = \frac{(3-2\sqrt{2}) + (3+2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$

$x+y = \frac{6}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{6}{9 - 8} = \frac{6}{1} = 6$

(2) $x^2+y^2$を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y = 6$であることはすでに求めています。

次に、$xy$を計算します。

$xy = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{1}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{9 - 8} = \frac{1}{1} = 1$

よって、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 6$

(2) $x^2+y^2 = 34$