(1) 正の数 $a, b$ に対して、$\frac{a^3 + b^3}{2}$ と $(\frac{a+b}{2})^3$ の大小を比較する。 (2) $\sqrt[3]{10}$ と $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ の大小を比較する。

1. 問題の内容

(1) 正の数 $a, b$ に対して、$\frac{a^3 + b^3}{2}$ と $(\frac{a+b}{2})^3$ の大小を比較する。

(2) $\sqrt[3]{10}$ と $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ の大小を比較する。

2. 解き方の手順

(1)

$A = \frac{a^3 + b^3}{2}$、 $B = (\frac{a+b}{2})^3 = \frac{(a+b)^3}{8} = \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8}$ とおく。

$A - B = \frac{a^3 + b^3}{2} - \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8} = \frac{4(a^3 + b^3) - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)}{8} = \frac{3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3}{8} = \frac{3(a^3 - a^2b - ab^2 + b^3)}{8} = \frac{3(a^2(a-b) - b^2(a-b))}{8} = \frac{3(a-b)(a^2 - b^2)}{8} = \frac{3(a-b)(a-b)(a+b)}{8} = \frac{3(a-b)^2(a+b)}{8}$

$a, b$ は正の数なので、$a+b > 0$。

$(a-b)^2 \geq 0$ より、$\frac{3(a-b)^2(a+b)}{8} \geq 0$。

したがって、$A-B \geq 0$ より、$\frac{a^3 + b^3}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^3$。

等号成立は、$a=b$ のとき。

(2)

$x = \sqrt[3]{10}, y = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ とおく。

$x^3 = 10, y^3 = (\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1)^3 = (\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^3 + 3(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^2 \cdot 1 + 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \cdot 1^2 + 1^3 = \frac{3}{2} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{5}{2} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$

$x^3 - y^3 = 10 - (\frac{5}{2} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}) = \frac{15}{2} - 3(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} - 3(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} = 3[\frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} - (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}] = 3[\frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}\{(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} + 1\}]$

ここで、$1 < \frac{3}{2} < 8$ より、$1 < (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} < 2$。

$\frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} - (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} = \frac{5}{2} - (\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^2 - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

$t = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ とおくと、$t^2 + t - \frac{5}{2} < 0$ を示す。

$f(t) = t^2 + t - \frac{5}{2}$ とおくと、$f(1) = 1 + 1 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} < 0, f(2) = 4 + 2 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2} > 0$ より、$1 < t < 2$ において、$f(t) = 0$ となる $t$ が存在する。

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\cdot \frac{5}{2}}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2}$

$t = \frac{-1 + \sqrt{11}}{2} \approx \frac{-1 + 3.317}{2} \approx 1.158$

よって、$f(t) < 0$ となる $t$ は、$1 < t < \frac{-1 + \sqrt{11}}{2}$ である。

ここで、$1 < \sqrt[3]{\frac{3}{2}} < \frac{-1 + \sqrt{11}}{2}$ であるかどうかを調べる。

$(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^3 = \frac{3}{2} = 1.5$

$(\frac{-1 + \sqrt{11}}{2})^3 = \frac{(-1+\sqrt{11})^3}{8} = \frac{-1 + 3\sqrt{11} - 3\cdot 11 + 11\sqrt{11}}{8} = \frac{-34 + 14\sqrt{11}}{8} = \frac{-17 + 7\sqrt{11}}{4} \approx \frac{-17 + 7\cdot 3.317}{4} \approx \frac{-17 + 23.219}{4} \approx \frac{6.219}{4} \approx 1.55475$

$\therefore (\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^3 = 1.5 < (\frac{-1+\sqrt{11}}{2})^3 = 1.55475$

したがって、 $\frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} - (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} > 0$

つまり、$x^3 > y^3$ より、$x > y$

$\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a^3 + b^3}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^3$。 等号成立は、$a=b$ のとき。

(2) $\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$