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問題は、以下の5つの問題から構成されています。 * **問題1**: 速さに関する問題で、自動車の速さをm/sとkm/hで求めたり、ピッチャーが投げたボールがバッターに届くまでの時間を求めたりします。 * **問題2**: 平均の速度と瞬間の速度に関する問題で、x-tグラフから平均の速度と瞬間の速度を求めます。 * **問題3**: 速度の合成に関する問題で、川を船で往復する時間を求めます。 * **問題4**: 速度の分解に関する問題で、人が長方形の運動場を対角線に沿って進むときの速さや位置を求めます。 * **問題5**: 相対速度に関する問題で、高速道路を走る自動車A, Bの相対速度や、自動車Bが自動車Aに追いつくまでの時間を求めます。

応用数学速度相対速度運動物理
2025/6/10

1. 問題の内容

問題は、以下の5つの問題から構成されています。
* **問題1**: 速さに関する問題で、自動車の速さをm/sとkm/hで求めたり、ピッチャーが投げたボールがバッターに届くまでの時間を求めたりします。
* **問題2**: 平均の速度と瞬間の速度に関する問題で、x-tグラフから平均の速度と瞬間の速度を求めます。
* **問題3**: 速度の合成に関する問題で、川を船で往復する時間を求めます。
* **問題4**: 速度の分解に関する問題で、人が長方形の運動場を対角線に沿って進むときの速さや位置を求めます。
* **問題5**: 相対速度に関する問題で、高速道路を走る自動車A, Bの相対速度や、自動車Bが自動車Aに追いつくまでの時間を求めます。

2. 解き方の手順

* **問題1**
(1) 30分で27km走る自動車の速さ
* まず、単位を統一します。30分 = 30 * 60 = 1800秒, 27km = 27000m
* 速さ = 距離 / 時間なので、速さ = 27000 / 1800 = 15 m/s
* km/h に変換：15 m/s = 15 * 3.6 = 54 km/h
(2) ピッチャーが速さ144 km/hで投げたボールがバッターに届くまでの時間
* 単位を統一します。144 km/h = 144 / 3.6 = 40 m/s
* 時間 = 距離 / 速さなので、時間 = 20 / 40 = 0.5 秒
* **問題2**
(1) 時刻1.0秒から2.0秒の間の平均の速度
* グラフより、時刻1.0秒でx = 2.5m, 時刻2.0秒でx = 5m
* 平均の速度 = (5 - 2.5) / (2 - 1) = 2.5 m/s
(2) 時刻1.0秒及び2.0秒での瞬間の速度
* グラフの接線の傾きを読み取ります。
* 時刻1.0秒：グラフの接線①の傾きはおよそ2.5 m/s
* 時刻2.0秒：グラフの接線②の傾きはおよそ5 m/s
* **問題3**
(1) この船が川の流れに沿って、L[m]を往復する時間
* 川の流れに沿って進むとき：速さ = V + v
* 川の流れに逆らって進むとき：速さ = V - v
* 往路の時間：t1=LV+vt_1 = \frac{L}{V+v}
* 復路の時間：t2=LV−vt_2 = \frac{L}{V-v}
* 往復の時間：t=t1+t2=LV+v+LV−v=2LVV2−v2t = t_1 + t_2 = \frac{L}{V+v} + \frac{L}{V-v} = \frac{2LV}{V^2 - v^2}
* 平均の速さ：vave=2Lt=V2−v2Vv_{ave} = \frac{2L}{t} = \frac{V^2 - v^2}{V}
(2) この船が川の流れに直角に往復する時間
* 川の流れに直角に進むためには、船は流れの方向に打ち消す向きに進む必要があります。
* 船の速度の川の流れに垂直な成分をVyV_yとすると、Vy=V2−v2V_y = \sqrt{V^2 - v^2}
* 往復の時間：t=2LV2−v2t = \frac{2L}{\sqrt{V^2 - v^2}}
* 平均の速さ：vave=2Lt=V2−v2v_{ave} = \frac{2L}{t} = \sqrt{V^2 - v^2}
* **問題4**
(1) この人の速さ
* AB間の距離を求めます：1502+2002=22500+40000=62500=250\sqrt{150^2 + 200^2} = \sqrt{22500 + 40000} = \sqrt{62500} = 250m
* 速さ = 距離 / 時間なので、速さ = 250 / 50 = 5 m/s
(2) この人の北向きの速さ、東向きの速さ
* 北向きの速さ = 5 * (150 / 250) = 3 m/s
* 東向きの速さ = 5 * (200 / 250) = 4 m/s
(3) 10秒後の位置
* 北へ：3 m/s * 10 s = 30 m
* 東へ：4 m/s * 10 s = 40 m
* **問題5**
(1) 自動車Bに対する自動車Aの相対速度
* vAB=vA−vB=20−25=−5v_{AB} = v_A - v_B = 20 - 25 = -5 m/s
* （自動車Bから見た自動車Aの速度は、西向きに5 m/s）
(2) 自動車Bが自動車Aに追いつくまでの時間
* 相対速度の大きさは5 m/s
* 時間 = 距離 / 相対速度 = 200 / 5 = 40 秒

3. 最終的な答え

* **問題1**
(1) 15 m/s, 54 km/h
(2) 0.5 秒
* **問題2**
(1) 2.5 m/s
(2) 時刻1.0秒：2.5 m/s, 時刻2.0秒：5 m/s
* **問題3**
(1) 往復の時間：2LVV2−v2\frac{2LV}{V^2 - v^2}, 平均の速さ：V2−v2V\frac{V^2 - v^2}{V}
(2) 往復の時間：2LV2−v2\frac{2L}{\sqrt{V^2 - v^2}}, 平均の速さ：V2−v2\sqrt{V^2 - v^2}
* **問題4**
(1) 5 m/s
(2) 北向き：3 m/s, 東向き：4 m/s
(3) 北へ30 m, 東へ40 m
* **問題5**
(1) -5 m/s (西向きに5 m/s)
(2) 40 秒

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