与えられた6つの式を計算する問題です。各式には平方根が含まれており、同類項の計算、展開、因数分解などを利用して計算を進めます。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた6つの式を計算する問題です。各式には平方根が含まれており、同類項の計算、展開、因数分解などを利用して計算を進めます。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ を共通因数としてくくり出すと、

$(4+5-7)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{50} - 4\sqrt{18} + \sqrt{32}$

それぞれ根号の中を簡単にする。

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

これらを元の式に代入すると、

$3(5\sqrt{2}) - 4(3\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (15-12+4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$

(4) $(4\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(5\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$

展開すると、

$4\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$

$= 20 \times 2 + 8\sqrt{6} - 15\sqrt{6} - 6 \times 3$

$= 40 + 8\sqrt{6} - 15\sqrt{6} - 18$

$= 22 - 7\sqrt{6}$

(5) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用すると、

$(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(2\sqrt{6}) + (2\sqrt{6})^2 = 3 + 4\sqrt{18} + 4 \times 6 = 3 + 4\sqrt{9 \times 2} + 24 = 3 + 4(3\sqrt{2}) + 24 = 3 + 12\sqrt{2} + 24 = 27 + 12\sqrt{2}$

(6) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{7})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用すると、

$(3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{7}) + (2\sqrt{7})^2 = 9 \times 2 - 12\sqrt{14} + 4 \times 7 = 18 - 12\sqrt{14} + 28 = 46 - 12\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $7\sqrt{2}$

(3) $3$

(4) $22 - 7\sqrt{6}$

(5) $27 + 12\sqrt{2}$

(6) $46 - 12\sqrt{14}$