放物線 $y = x^2 - 4x - 2k$ と x軸との共有点の個数を、実数 $k$ の値によって場合分けせよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x - 2k$ と x軸との共有点の個数を、実数 $k$ の値によって場合分けせよ。

2. 解き方の手順

放物線とx軸の共有点の個数は、$x^2 - 4x - 2k = 0$ の実数解の個数に等しい。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-4)^2 - 4(1)(-2k) = 16 + 8k = 8(2+k)$

判別式 $D$ の符号によって、実数解の個数が変わる。

* $D > 0$ のとき、すなわち $8(2+k) > 0$、つまり $k > -2$ のとき、実数解は2個。

* $D = 0$ のとき、すなわち $8(2+k) = 0$、つまり $k = -2$ のとき、実数解は1個。

* $D < 0$ のとき、すなわち $8(2+k) < 0$、つまり $k < -2$ のとき、実数解は0個。

3. 最終的な答え

* $k > -2$ のとき、共有点の個数は2個

* $k = -2$ のとき、共有点の個数は1個

* $k < -2$ のとき、共有点の個数は0個