与えられた4つの式について、二重根号を外して簡略化します。 (1) $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$ (2) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{4+\sqrt{7}}$ (4) $\sqrt{10+5\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式について、二重根号を外して簡略化します。

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$

(2) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

(4) $\sqrt{10+5\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$

$\sqrt{a}-\sqrt{b}$ の形にするため、$a+b=9$ かつ $ab=20$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=5$, $b=4$ が条件を満たします。

$\sqrt{9-2\sqrt{20}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$

(2) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$

$\sqrt{11+2\sqrt{24}}$ と変形します。

$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形にするため、$a+b=11$ かつ $ab=24$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=8$, $b=3$ が条件を満たします。

$\sqrt{11+2\sqrt{24}} = \sqrt{8} + \sqrt{3} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

$\sqrt{4+\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{8+2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形にするため、$a+b=8$ かつ $ab=7$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=7$, $b=1$ が条件を満たします。

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$

(4) $\sqrt{10+5\sqrt{3}}$

$\sqrt{10+5\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{20+10\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{20+2\sqrt{75}}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形にするため、$a+b=20$ かつ $ab=75$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=15$, $b=5$ が条件を満たします。

$\frac{\sqrt{20+2\sqrt{75}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}-2$

(2) $2\sqrt{2}+\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}}{2}$