$A$ を $n$ 次正方行列, $\varphi(t)$ を $A$ の固有多項式とするとき、次の2つを示す問題です。 (1) $\varphi(t) = (-1)^n t^n + (-1)^{n-1} (\mathrm{tr} A) t^{n-1} + \cdots + |A|$ (2) $n$ 次正則行列 $P$ に対し, $\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr} A$

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次正方行列, $\varphi(t)$ を $A$ の固有多項式とするとき、次の2つを示す問題です。

(1) $\varphi(t) = (-1)^n t^n + (-1)^{n-1} (\mathrm{tr} A) t^{n-1} + \cdots + |A|$

(2) $n$ 次正則行列 $P$ に対し, $\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr} A$

2. 解き方の手順

(1) $A$ の固有多項式は $\varphi(t) = \det(tI - A)$ で定義されます。ここで、$I$ は $n$ 次単位行列です。

$\det(tI - A)$ を展開すると、$t^n$ の係数は $(-1)^n$ になります。

$t^{n-1}$ の係数は、行列式を展開する際に、$tI-A$の対角成分から $(n-1)$ 個の $t$ を選び、残りの対角成分から $-a_{ii}$ を選ぶことによって得られます。よって、$t^{n-1}$の係数は、

$\sum_{i=1}^n (-a_{ii}) (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1} \sum_{i=1}^n a_{ii} = (-1)^{n-1} (\mathrm{tr} A)$ となります。

また、$t=0$ を代入すると、$\varphi(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A) = |A|$ になります。

したがって、$\varphi(t) = (-1)^n t^n + (-1)^{n-1} (\mathrm{tr} A) t^{n-1} + \cdots + |A|$ が示されました。

(2) 行列の積のトレースの巡回性（cyclic property）$\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BCA)$ を利用します。

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(AP P^{-1})$

$= \mathrm{tr}(AI)$

$= \mathrm{tr}(A)$

3. 最終的な答え

(1) $\varphi(t) = (-1)^n t^n + (-1)^{n-1} (\mathrm{tr} A) t^{n-1} + \cdots + |A|$

(2) $\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr} A$